- 二项分布及其应用
- 共3448题
在三人乒乓球对抗赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比 赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
（1）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（2）求三人得分相同的概率；
（3）求甲不是小组第一的概率。
正确答案
解：（1）设甲获小组第一且丙获小组第二为事件A
则
（2）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B
即每人胜一场输两场，有以下两种情形：
甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为
故三人得分相同的概率为
（3）设甲不是小组第一为事件C
则
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制当第一次烧制合格后方可进行第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品的合格率依次为0.6，0.5，0.75．
(Ⅰ)求第一次烧制后恰有两件产品合格的概率；
(Ⅱ)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．
正确答案
解：(Ⅰ)分别记甲、乙、丙经过第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3；
设E表示经过第一次烧制后恰好有两件合格，则
(Ⅱ)分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A，B，C，则
∴
所以，ξ的分布列为
∴
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局，
(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。
正确答案
解：记“第i局甲获胜”为事件Ai（i=3，4，5），“第j局乙获胜”为事件Bj（j=3，4，5），
(Ⅰ)记“再赛2局结束比赛”为事件A，
则A=A3·A4+B3·B4，由于各局比赛结果相互独立，
故P(A)=P(A3·A4+B3·B4)=P(A3·A4)+P(B3·B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛的胜利”为事件B，
因前两局中，甲、乙各胜一局，
故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5，
由于各局比赛结果相互独立，
故P(B)=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局，
(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。
正确答案
解：记Ai表示事件：第i局甲获胜，i=3，4，5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j=3，4，
(Ⅰ)记A表示事件：再赛2局结束比赛，
A=A3·A4+B3·B4，由于各局比赛结果相互独立，
故P(A)=P(A3·A4+B3·B4)=P(A3·A4)+P(B3·B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52。
(Ⅱ)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5，
由于各局比赛结果相互独立，
故P(B)=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．
在某省高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余的题目中，有两道题均可判断出两个选项是错误的，有一道题可判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大？
正确答案
解：（Ⅰ）得分为50分，10道题必须全做对．在其余的四道题中，
有两道题答对的概率为
有一道题答对的概率为
还有一道答对的概率为
所以得分为50分的概率为：P=
（Ⅱ） 依题意，该考生得分的范围为{30，35，40，45，50}．
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，
所以概率为：
同样可以求得得分为35分的概率为：
得分为40分的概率为：
得分为45分的概率为：
得分为50分的概率为：
所以得35分或得40分的可能性最大
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”。
（1）现对三位被测试者先后进行测试。第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取一张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
（2）若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
正确答案
解：（1）每次测试中，被测试者从0张卡片中随机抽取的张卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率为
（2）设
P（A3）=
因而所求的概率为
甲、乙队各有3名柔道选手，代号分别为甲1、甲2、甲3和乙1、乙2、乙3，两队队员之间甲队队员获胜的概率如下表所示．
（1）若两队之间进行对抗赛，一队中至少有两名选手战胜对方才算是此队获胜，那么按甲1对乙2，甲2对乙1，甲3对乙3，甲队获胜的概率是多少？
（2）怎样编排两队之间的对抗赛，甲队获胜的概率最大？最大概率为多少？
正确答案
解：（1）若仅甲1对乙2，甲2对乙1获胜，概率为0.6×0.5×0.2=0.06，
若仅甲1对乙2，甲3对乙3获胜，概率为 0.6×0.5×0.8=0.24，
若仅甲2对乙1，甲3对乙3获胜，概率为0.2×0.5×0.4=0.04，
若甲1对乙2，甲2对乙1，甲3对乙3都获胜，概率为 0.6×0.2×0.5=0.06，
故甲队获胜的概率是0.06+0.24+0.04+0.06=0.4．
（2）由表格可知甲队中水平是甲1最高，甲2其次，甲3最低；
乙队中水平是乙1最高，乙2其次，乙3最低．
所以按甲1对乙2，甲2对乙3，甲3对乙1编排，甲队获胜的概率最大，
最大概率为P=0.6×0.6×0.1+0.6×0.6×0.9+0.6×0.4×0.1+0.4×0.6×0.1=0.408．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为
（1）两人都能破译的概率；
（2）两人都不能破译的概率；
（3）恰有一人能破译的概率；
（4）至多有一人能破译的概率；
（5）若要使破译的概率为99%，至少需要多少个乙这样的人？
正确答案
解：设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，
则A、B相互独立，
从而A与
（1）“两人都能破译”为事件AB，
则P（A·B）=P（A）·
（2）“两人都不能破译”为事件
则
（3）“恰有一人能破译”为事件
又
则
（4）“至多一人能破译”为事件
且
故
（5）设至少需n个乙这样的人，而n个乙这样的人都不能破译的概率为
故n个乙这样的人能破译的概率为
解得n=16，
故至少需16个乙这样的人，才能使破译的概率为99%。
某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．
其中正确结论的序号是 （ ）（写出所有正确结论的序号）．
正确答案
①③
对两个相互独立的事件A和B，如P（A）=
正确答案
扫码查看完整答案与解析