- 二项分布及其应用
- 共3448题
袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球，
（1）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；
（2）若无放回地取3次，每次取1个球，
①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；
②求取出的红球数X的分布列和均值（即数学期望）。
正确答案
解：（1）有放回地取3 次为3 次独立重复试验，
每次取到红球的概率为
则有放回地取3次，取出1个红球2个黑球的概率为
（2）无放回地取3次，
设A={前2次都取出红球}，B={第3次取出黑球}，
①
②X的可能取值为0，1，2，3，
所以取出的红球数X的分布列为
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（1）求p；
（2）求电流能在M与N之间通过的概率；
（3）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
正确答案
解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M、N之间通过．
（I）
∴P（
又∵P（
∴（1﹣p）3=0.001，
解之得p=0.9
（II）∵B=A4+
∴P（B）=P（A4）+P（
=P（A4）+P（
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891
即电流能在M与N之间通过的概率为0.991
（III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立，
用ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，则ξ服从二项分布，n=4且p=0.9
即ξ～B（4，0.9），
由二项分布的数学期望公式，
得Eξ=4×0.9=3.6
即ξ的期望为3.6
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y依题意得：
即
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
（Ⅱ）因为随机变量ξ表示测试结束后通过的人数，由题意可知ξ的所有可能值为：0，1，2，3，
并且P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=3）=
P（ξ=2）=1﹣（
所以Eξ=
某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，依题意
甲选答3道题目后进入决赛的概率为
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为
所以，选手甲可进入决赛的概率
（2）ξ可取3，4，5，
依题意，
所以，ξ的分布列为：
∴
在盒子里有大小相同仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。现从中任取一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次。若取出的是蓝球，则不再取球，
（1）求最多取两次就结束取球的概率；
（2）求取球次数的分布列和数学期望；
（3）求正好取到两次白球的概率。
正确答案
解：（1）设取球次数为ξ1，
则
∴所以最多取两次就结束的概率
（2）分布列如下：
∴Eξ=
（3）设正好取到两次白球的事件为B，
则P（B）=
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ。
正确答案
解：(Ⅰ)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是
(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，3，
所以中奖人数ξ的分布列为
∴
甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为
（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数ξ的概率分布和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，
设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：
∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：
（Ⅱ）乙所得分数为η
η可能的取值﹣4，0，4，8，12，
P（η=﹣4）=
P（η=0）=
P（η=4）=C42
P（η=8）=
P（η=﹣4）=
分布列如下：
∴Eη=
眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
（I）分别求“甲队得2分乙队得1分”和“甲队得3分乙队得0分”的概率；
（II）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）记甲队得2分乙队得1分为事件A，记甲队得3分乙队得0分为事件B；
甲队得2分的概率
P1=C32×（
乙队的1分的概率
P2=
则P（A）=
甲队得3分的概率P3=C33×（
乙队的0分的概率P4=（1﹣
则P（B）=
（Ⅱ）由题意，ξ可取的值为0、1、2、3，
ξ=0，即甲队得0分，3人都回答错误，
ξ=1，即甲队得1分，3人中只有1人回答正确，
ξ=2，即甲队得2分，3人中只有2人回答正确，
ξ=3，即甲队得3分，3人都回答正确，
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满100元，享受一次摇奖机会，购物满200元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落。小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为20元，落入B袋为二等奖，奖金为10元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
（Ⅰ）求：摇奖两次，均获得一等奖的概率；
（Ⅱ）某消费者购物满200元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费200元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。
正确答案
解：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，
则小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故
（Ⅰ）获得两次一等奖的概率为
（Ⅱ）X可以取20，30，40，
P(X=20)=
P(X=40)=
所以，分布列为：
所以，EX=20×
（Ⅲ）参加摇奖，可节省25元，打折优惠，可节省24元，参加摇奖。
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，且
∴取出的4个球均为黑球的概率为
P（AB）=P（A）
（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，且
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P（C+D）=P（C）+P（D）=
（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得
又
从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=
ξ的分布列为
ξ的数学期望
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