- 碰撞
- 共652题
如图所示，可视为质点的A、B两物体并排放在一起，与墙相距L=4 m，ma=mb=1 kg，A物体与水平地面间摩擦力不计，B物体与地面的动摩擦因数μ=0.1。开始时两物体静止，现同时分别给A、B向左、向右大小为I=4N·s的冲量，使两物体向相反的方向运动，设A与墙壁发生无机械能损失的碰撞，后又与B物体碰撞并结合在一起继续运动（g=10 m/s2）。求：
（1）A物体开始运动时的速度大小；
（2）B物体最后所停的位置与墙壁间的距离。
正确答案
解：（1）对A或B有I=mv，即
（2）设B运动后的加速度为aB，则μmBg=mBaB，aB=μg=1m/s2 设B从开始运动到速度为0通过的距离为sB，运动的时间为tB，则
vB2=2aBsB，得sB=8 m
VB=aBtB，知tB=4 s
分析可知：B物体剐停，A物体到来与之碰撞结合
由动量守恒定律可知：mAvA=（mA+mB）vAB，vAB=2 m/s
而后共同运动的加速度为aAB，(mA+mB)aAB=μmBg，aAB=0.5 m/s2
vAB2=2aABs'B，可得s'B=4 m
B物体到墙壁的距离s总=L+sB+S'B=16 m
如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道。一个质量为m1的小物体自A处由静止释放，m1沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰。
（1）如果m2与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上。m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连，碰撞后m1与m2一起将弹簧压缩后被弹回，m1与m2重新分开。若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m1=m2，求m1反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m2相连的弹簧及固定装置P，m1仍从A处由静止释放。
a．若m1=
b．若m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，要使m1与m2只能发生两次碰撞，求m2与m1的比值范围。
正确答案
解：（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动
v共=
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h
解得
（2）撤去弹簧及固定装置后
a. m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失。设向右为正方向，有
代入m1=
此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是
将
b. m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
解得
要能发生第二次碰撞的条件是v1'<0，即m1＜m2；且|v1'|＞v2'，即|m1－m2|＞2m1，可得m2＞3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下，以速度
第二次碰后m1和m2的速度
不发生第三次碰撞的条件为
则
解不等式
得
解不等式
得m2≥3m1 或m2≤-m1 ⑨
综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为
在绝缘水平面上放一质量m =2.0×10-3kg的带电滑块A，所带电荷量q =1.0×10-7C。在滑块A的左边l=0.3m处放置一个不带电的绝缘滑块B，质量M =4.0×10-3kg，B与一端连在竖直墙壁上的轻弹簧接触（不连接）且弹簧处于自然状态，弹簧原长s0 =0.05m。如图所示，在水平面上方空间加一水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E =4.0×105N/C，滑块A由静止释放后向左滑动并与滑块B发生碰撞，设碰撞时间极短，碰撞后两滑块结合在一起共同运动并压缩弹簧至最短处（弹性限度内），此时弹性势能E0=3.2×10-3J，两滑块始终没有分开，两滑块的体积大小不计。与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.50，g取10m/s2。求：
（1）两滑块碰撞后刚结合在一起的共同速度v；
（2）两滑块碰撞后到弹簧压至最短的过程中，滑块A电势能的变化量；
（3）两滑块被弹簧弹开后距竖直墙壁的最大距离S（结果保留两位小数）。
正确答案
解：（1）设两滑块碰前A的速度为v1
由动能定理有：
解得：v1=3m/s
A、B两滑块碰撞，由于时间极短动量守恒，设共同速度为v
解得：v=1.0m/s
（2）碰后A、B一起压缩弹簧至最短，设弹簧压缩量为x1
由动能定理有：
解得：x1=0.02m
弹簧压缩过程中电场力做正功，电势能减少
（3）设反弹后A、B滑行了x2距离后速度减为零
由动能定理得：
解得：x2≈0.05m
以后，因为qE>μ(M+m)g，滑块还会向左运动，但弹开的距离将逐渐变小，所以最大距离为：
S=x2+s-x1=0.05m+0.05m-0.02m=0.08m
如图所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，右方有一竖直的墙。重物质量为木板质量的2倍，重物与木板间的动摩擦因数为μ。使木板与重物以共同的速度v0向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短，求木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间。设木板足够长，重物始终在木板上，重力加速度为g。
正确答案
解：第一次与墙碰撞后，木板的速度反向，大小不变，此后木板向左做匀减速运动，重物向右做匀减速运动，最后木板和重物达到一共同的速度v。设木板的质量为m，重物的质量为2m，取向右为动量的正方向，由动量守恒得
2mv0-mv0=3mv
设从第一次与墙碰撞到重物和木板具有共同速度v所用的时间为t1，对木板应用动量定理得
2μmgt1=mv-m（-v0）
由牛顿第二定律得2μmg=ma，式中a为木板的加速度
在达到共同速度v时，木板离墙的距离l为
开始向右做匀速运动到第二次与墙碰撞的时间为
从第一次碰撞到第二次碰撞所经过的时间为t=t1+t2
由以上各式得
如图所示，倾角为θ的斜面上静止放置三个质量均为m的木箱，相邻两木箱的距离均为l。工人用沿斜面的力推最下面的木箱使之上滑，逐一与其他木箱碰撞。每次碰撞后木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力不变，最后恰好能推着三个木箱匀速上滑。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。设碰撞时间极短，求：
(1)工人的推力；
(2)三个木箱匀速运动的速度；
(3)在第一次碰撞中损失的机械能。
正确答案
解：(1)设工人的推力为F，则有F=3mg(sinθ+μcosθ)
(2)设第一次碰撞前瞬间木箱速度为v1，由功能关系得
设碰撞后两木箱的速度为v2，由动量守恒得mv1=2mv2设再次碰撞前瞬间速度为v3，由功能关系得
设碰撞后三个木箱一起运动的速度为v4，由动量守恒得2mv3=3mv4
联立以上各式得
(3)设在第一次碰撞中损失的机械能为△E，有
联立解得△E=mgl(sinθ+μcosθ)
有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示。
（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为
（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）。
a．分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；
b．在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°。求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。
正确答案
解：（1）滑动A与B正碰，满足
mvA－mVB=mv0 ①
由①②，解得vA=0，vB=v0 根据动量定理，滑块B满足F·
解得
（2）a．设任意点到O点竖直高度差为d。A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。选该任意点为势能零点，有
EA=mgd，EB= mgd+
由于p=
即PA＜PB
A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量
b．以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则
对B有x=v0t，y=
B的轨迹方程y=
在M点x=y，所以y=
因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同。设B水平和竖直分速度大小分别为
B做平抛运动，故
对A由机械能守恒得vA=
由④⑤⑥得
将③代入得
（附加题）
如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
正确答案
解：设小球m的摆线长度为l，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：
m和M碰撞过程满足：
联立②③得：
说明小球被反弹，而后小球又以反弹速度和小球M发生碰撞，满足：
解得：
整理得：
所以：
而偏离方向为45°的临界速度满足：
联立①⑨⑩代入数据解得，当n=2时，
当n=3时，
所以最多碰撞3次
如图所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知
(1)上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？
(2)当弹簧恢复原长时B球速度是多大？
(3)若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反。试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。
正确答案
解：（1）C与A相碰后速度为
（2）设弹簧恢复原长时，D球速度为
得
（3）设B球与档板相碰前瞬间D、B两球速度为
与档板碰后弹性势能最大（设为
整理得
当
当
如图所示，三个可视为质点的物块A，B，C，在水平面上排成一条直线，且彼此间隔一定距离。已知mA=mB=10 kg，mC=20 kg，C的左侧水平面光滑，C的右侧水平面粗糙，A，B与粗糙水平面间的动摩擦因数μA=μB=0.4，c与粗糙水平面间动摩擦因数μC=0.2，A具有20 J的初动能向右运动，与静止的B发生碰撞后粘在一起，又与静止的C发生碰撞，最后A，B，C粘成一个整体，求：（取g=10 m/s2）
（1）在第二次碰撞中损失的机械能有多少？
（2）这个整体在粗糙的水平面上滑行的距离是多少？
正确答案
解：（1）由于A的初动能
得A的初速度v0=2 m/s
A，B发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律
mAv0=(mA+mB)v1，得v1=1 m/s
A，B与C发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律
(mA+mB)v1=(mA+mB+mC)v2，得v2=0.5 m/s
在第二次碰撞中损失的机械能
（2）A、B、C整体在粗糙水平面上所受的摩擦力f=fA+fB+fC=μAmAg+μBmBg+μCmCg=120 N
根据动能定理解得
如图所示，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc是位于竖直平面内与ab相切的半圆，半径R=0.40 m。质量m=0.30 kg的小球A静止在水平轨道上，另一质量M=0.50 kg的小球B以v0=4 m/s的初速度与小球A发生碰撞。已知碰后小球A经过半圆的最高点c后落到轨道上距b点为L=1.2 m处，重力加速度g=10 m/s2。求：
(1)当A球经过半圆的最高点c时的速度大小；
(2)当A球经过半圆的最低点b时它对轨道的作用力；
(3)判断A，B碰撞是否是完全弹性碰撞。
正确答案
解：(1)设碰后小球A在半圆的最高点c时速度为vA'，球A随后离开c点做平抛运动，有
解得vA'=3 m/s
(2)设碰后小球A在半圆的最低点b时速度为vA，小球A从b点到c点由机械能守恒定律得
解得vA=5 m/s
在b点时，对A由牛顿运动定律可得：
联立解得FN=21.75 N
根据牛顿第三定律，球对轨道的作用力FN'大小为21.75 N，方向竖直向下
(3)对碰撞过程，由动量守恒定律得Mv0=MvB+mvA解得vB=1 m/s
由功能关系得，碰撞中产生的内能
解得E=0
所以，球A，B的碰撞为完全弹性碰撞
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