- 碰撞
- 共652题
某兴趣小组设计了一种实验装置,用来研究碰撞问题,其模型如图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔,从左到右,球的编号依次为1、2、3……N,球的质量依次递减,每球质量与其相邻左球质量之比为k(k<1)。将1号球向左拉起,然后由静止释放,使其与2号球碰撞,2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。(不计空气阻力,忽略绳的伸长,g取10 m/s2)
(1)设与n+1号球碰撞前,n号球的速度为vn,求n+1号球碰撞后的速度。
(2)若N=5,在1号球向左拉高h的情况下,要使5号球碰撞后升高16h(16 h小于绳长),问k值为多少?
正确答案
解:(1)设n号球质量为m,n+1号球质量为mn+1,碰撞后的速度分别为,取水平向右为正方向,据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0
根据动量守恒有:mnvn=mnvn′+kmnvn+1′
根据机械能守恒有:mnvn2=
mnvn′2+
kmnvn+1′2
解得:vn+1′=(vn+1′=0舍去)
(2)设1号球摆至最低点时的速度为v1,由机械能守恒定律有
v1=
同理可求,5号球碰后瞬间的速度v5=
设n+1号球与n+2号球碰前的速度为vn+1 据题意有:vn+1=
得:vn+1=nv1
n=5时:v5=()4v1解得:k=
用放射源钋的α射线轰击铍时,能发射出一种穿透力极强的中性射线,这就是所谓铍“辐射”。1932年,查德威克用铍“辐射”分别照射(轰击)氢和氨(它们可视为处于静止状态)。测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氨核和氦核的质量之比为7.0。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的,从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假设铍“辐射”中的中性粒子与氢或氦发生弹性正碰,试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。(质量用原子质量单位u表示,1 u等于1个12C原子质量的十二分之一。取氢核和氦核的质量分别为1.0 u和14 u。)
正确答案
解:设构成铍“辐射”的中性粒子的质量和速度分别为m和v,氢核的质量为mH。构成铍“辐射”的中性粒子与氢核发生弹性正碰,碰后两粒子的速度分别为v'和vH'
由动量守恒与能量守恒定律得:mv=mv′+mHvH′
解得:
同理,对于质量为mN的氮核,其碰后速度为
可求得:
根据题意可知:vH′=7.0vN′
解得:m=1.2u
如图所示,质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
正确答案
解:设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1,碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、Vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等,设速度向左,则
解得:,
第n次碰撞后绝缘球的动能为:
E0为第1次碰撞前的动能,即初始能量
绝缘球在θ=θ0=60°与θ=45°处的势能之比为
经n次碰撞后有:
易算出(0.81)2=0656,(0.81)3=0.531,因此,经过3次碰撞后θ小于45°
碰撞的恢复系数的定义为,其中v10和v20分别是碰撞前两物体的速度,v1和v2分别是碰撞后两物体的速度。弹性碰撞的恢复系数e=1,非弹性碰撞的e<1。某同学借用验证动量守恒定律的实验装置(如图所示)验证弹性碰撞的恢复系数是否为1,实验中使用半径相等的钢质小球1和2,(它们之间的碰撞可近似视为弹性碰撞),且小球1的质量大于小球2的质量。
实验步骤如下:安装好实验装置,做好测量前的准备,并记下重垂线所指的位置O。
第一步:不放小球2,让小球1从斜槽上A点由静止滚下,并落在地面上。重复多次,用尽可能小的圆把小球的所有落点圈在里面,其圆心就是小球落点的平均位置。
第二步:把小球2放在斜槽前端边缘处的C点,让小球1从A点由静止滚下,使它们碰撞。重复多次,并使用与第一步同样的方法分别标出碰撞后两小球落点的平均位置。
第三步:用刻度尺分别测量三个落地点的平均位置离O点的距离,即线段OM、OP、ON的长度。
上述实验中:
(1)P点是_____________的平均位置,M点是_____________的平均位置,N点是_____________的平均位置。
(2)请写出本实验的原理______________________________________________________________________;写出用测量量表示的恢复系数的表达式_________________________。
(3)三个落地点距O点的距离OM、OP、ON与实验所用的小球质量是否有关? ______________________________________________________________________
正确答案
(1)实验的第一步中小球1落点;小球1与小球2碰撞后小球1落点;小球2落点
(2)小球从槽口C飞出后作平抛运动的时间相同,设为t,则有OP=v10t,OM=v1t,ON=v2t
小球2碰撞前静止,v20=0;
(3)OP与小球的质量无关,OM和ON与小球的质量有关
相距L=12.5m、质量均为m的两小球A、B,静放在足够长的绝缘水平面上,与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2,其中A电荷量为+q,B不带电。现在水平面附近空间加有场强E=、水平向右的匀强电场,A开始向右运动,并与B发生多次对心碰撞,且碰撞时间极短,每次碰后两球交换速度、A带电量保持不变、B始终不带电,g取10m/s2。试求
(1)A、B 第一次碰后B的速度vB1;
(2)A、B从第五次碰后到第六次碰的过程中B运动的时间tB5;
(3)B运动的总路程x。
正确答案
解:(1)对A,据牛顿第二定律,得加速度
1m/s2
又据公式,得A与B碰前速度
m/s
碰撞交换速度,故第一次碰后,A的速度为0,B的速度m/s
(2)对B,据牛顿第二定律,得加速度大小
m/s2
每次碰后B作匀减速运动,因其加速度大于A的加速度,所以B先停,之后A追上再碰,每次碰后A的速度均为0,然后加速再与B发生下次碰撞
第一次碰后B运动的时间
第一次碰后B的位移,则
第二次碰前A的速度为,则
由以上两式得
碰后B的速度
碰后B运动的时间
以此类推,第五次碰后B运动的时间
(3)每次碰撞两球均交换速度,经多次碰撞后,最终A、B停在一起
设B运动的总路程为x,据能量守恒有
解得
(1)如图1所示,ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道,BC段水平,AB段与BC段平滑连接。质量为m1的小球从高位h处由静止开始沿轨道下滑,与静止在轨道BC段上质量为m2的小球发生碰撞,碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上,且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球m2的速度大小v2;
(2)碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探究这一规律,我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型。如图2所示,在固定光滑水平轨道上,质量分别为、
……的若干个球沿直线静止相间排列,给第1个球初能
,从而引起各球的依次碰撞。定义其中第n个球经过依次碰撞后获得的动能
与
之比为第1个球对第n个球的动能传递系数
。
a.求;
b.若为确定的已知量。求
为何值时,
值最大。
正确答案
解:(1)设碰撞前的速度为v10,根据机械能守恒定律 ①
设碰撞后m1与m2的速度分别为v1和v2,根据动量守恒定律 ②
由于碰撞过程中无机械能损失 ③
②、③式联立解得 ④
将①代入④得
(2)a.由④式,考虑到
得根据动能传递系数的定义,对于1、2两球 ⑤
同理可得,球m2和球m3碰撞后,动能传递系数k13应为 ⑥
依次类推,动能传递系数k1n应为
解得
b.将m1=4m0,m3=m0代入⑥式可得
为使k13最大,只需使
由
如图所示,光滑的水平地面上有一木板,其左端放有一重物,右方有一竖直的墙。重物质量为木板质量的2倍,重物与木板间的动摩擦因数为μ,使木板与重物以共同的速度v0向右运动,某时刻木板与墙发生弹性碰撞,碰撞时间极短。求木板从第一次与墙碰撞到再次碰撞所经历的时间,设木板足够长,重物始终在木板上。重力加速度为g。
正确答案
解:第一次与墙碰撞后,木板的速度反向,大小不变,此后木板向左做匀减速运动,重物向右做匀减速运动,最后木板和重物达到一共同的速度v,设木板的质量为m,重物的质量为2m,取向右为动量的正方向,由动量守恒得
2mv0-mv0=3mv ①
设从第一次与墙碰撞到重物和木板具有共同速度v所用的时间为t1,对木板应用动量定理得
2μmgt1=mv一m(-v0) ②
由牛顿第二定律得 2μmg=ma ③
式中a为木板的加速度
在达到共同速度v时,木板离墙的距离l为 ④
开始向右做匀速运动到第二次与墙碰撞的时间为 ⑤
从第一次碰撞到第二次碰撞所经过的时间为t=t1+t2 ⑥
由以上各式得 ⑦
质量均为m的两个小物体A和B,静止放在足够长的水平面上,相距L=12.5m。它们跟水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2,其中A带电荷量为q的正电荷,与水平面的接触是绝缘的,B不带电。现在水平面附近空间加一水平向右的匀强电场,场强,A便开始向右运动,并与B发生多次对心碰撞,碰撞过程时间极短,每次碰撞后两物体交换速度,A带电量不变,B始终不带电。g取10 m/s2。试求:
(1)A与B第1次碰撞后B的速度大小;
(2)A与B从第5次碰撞到第6次碰撞过程中B运动的时间;
(3)B运动的总路程。
正确答案
解:(1)对A,根据牛顿第二定律:Eq-μmg=maA解得加速度aA=1 m/s2
根据公式vA12=2aAL
解得A与B碰前速度vA1=5 m/s
碰撞交换速度,第1次碰后,A的速度为0,B的速度vB1=vA1=5 m/s
(2)对B,根据牛顿第二定律:μmg=maB解得加速度大小aB=2 m/s2
每次碰后B做匀减速运动,因其加速度大于A的加速度,所以B先停,之后A追上再碰,每次碰后A的速度均为0,然后加速再与B发生下次碰撞
第1次碰撞:碰后B运动的时间
第2磁碰撞:碰前A的速度为vA2,则vA22=2aAxB1
XB1为第1磁碰后B的位移,则vB12=vA12=2aBxB1
由以上两式得
碰后B的速度
碰后B运动的时间
以此类推,第5次碰撞后B运动的时间
(3)解法1:经过无数次碰撞,最终A、B停在一起;每次碰撞交换速度,说明碰撞过程无机械能损失,设B运动的总路程为x,根据能量守恒Eq(L+x)=μmg(L+x)+μmgx
解得x=12.5m
解法2:根据第(2)问的分析,经过n次碰撞后B的速度
从第1次碰撞到第n次碰撞后B通过的总路程
所以
当n→∞时,即得B通过的总路程x=12.5m
如果两球在碰撞前的速度在两球的中心连线上,那么这种碰撞称为对心碰撞(或称正碰),设两球碰撞前的速度分别为V10和V20,碰撞后的速度分别为V1和V2,并假定碰撞前后各个速度都沿同一方向,某探究学习小组从实验结果总结出一个碰撞定律:碰撞后两球的分离速度(V2-V1),与碰撞前两球的接近速度(V10-V20)成正比,比值由两球的材料性质决定,即通常把e叫做恢复系数。某同学利用如图所示装置进行实验,绳上挂有A、B两个小球,并已测出两球碰撞时的恢复系数e=0.5,已知A球质量为2m、摆长为2L,B球质量为m、摆长为L,某次实验中球A由静止状态释放,运动到最低点与静止的球B发生正碰,碰后刚好使球B到达使绳成水平的位置。求球A释放前θ角的大小。
正确答案
解:设球A到达最底点的速度为V,根据机械能守恒有 ①
所以
设碰撞后A、B两球的速率分别为VA、VB,由题意得:
即 ②
A、B两球碰撞时水平方向动量守恒: ③
由②③得 ④
碰撞后B球机械能守恒,故有: ⑤
将①④式代入⑤得
所以A球释放前θ=60°
如图所示,在绝缘水平面上的P点放置一个质量为mA=0.02kg的带负电滑块A,带电荷量q=1.0×10-6 C。在A的左边相距的Q点放置一个不带电的滑块B,质量为mB=0.04kg,滑块B距左边竖直绝缘墙壁s=0.15m。在水平面上方空间加一方向水平向右的匀强电场,电场强度为E=4.0×105N/C,使A由静止释放后向左滑动并与B发生碰撞,碰撞的时间极短,碰撞后两滑块结合在一起共同运动,与墙壁发生碰撞时没有机械能损失,两滑块都可以视为质点。已知水平面OQ部分粗糙,其余部分光滑,两滑块与粗糙水平面OQ间的动摩擦因数均为μ=0.50,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取g=10m/s2。求:
(1)A经过多少时间与B相碰?相碰结合后的速度是多少?
(2)AB与墙壁碰撞后在水平面上滑行的过程中,离开墙壁的最大距离是多少?
(3)A、B相碰结合后的运动过程中,由于摩擦而产生的热是多少?通过的总路程是多少?
正确答案
解:(1)由于PQ部分光滑,滑块A只在电场力作用下加速运动,设经时间t与B相碰,A与B相遇前的速度大小为v1,结合后的共同速度大小为v2,则
解得s,
m/s
滑块A、B碰撞的过程中动量守恒,即,
m/s
(2)两滑块共同运动,与墙壁发生碰撞后返回,第一次速度为零时,两滑块离开墙壁的距离最大,设为 ,在这段过程中,由动能定理得
解得m
(3)由于N,
N,
,即电场力大于滑动摩擦力,AB向右速度为零后在电场力的作用下向左运动,最终停在墙角O点处,设由于摩擦而产生的热为Q,由能量守恒得
J
设AB第二次与墙壁发生碰撞后返回,滑块离开墙壁的最大距离为,假设L2<s,在这段过程中,由动能定理得
,解得L2≈0.064m
L2<s=0.15m ,符合假设,即AB第二次与墙壁发生碰撞后返回停在Q点的左侧,以后只在粗糙水平面OQ上运动
设在粗糙水平面OQ部分运动的总路程s1,则,s1=0.6m
设AB相碰结合后的运动过程中通过的总路程是s2,则,
m
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