导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若直线是曲线的切线，则实数的值为 .

正确答案

．

试题分析：因为，直线是曲线的切线，且的导数为，所以有=2，=1，x=e，y=e，将（e，e）代入直线方程得，m=－e。

点评：简单题，函数曲线的切线斜率，等于函数在确定的导函数值。

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题型：简答题

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简答题

已知函数,其中.

（I）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;

（II）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

正确答案

（I）的取值范围是；（II）的最大值为；

试题分析：（I）由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,

由,得,

因为,所以 3分

令,则,故在区间(1,2)上是增函数,

所以其值域为,从而的取值范围是 5分

（II）,

由题意知对恒成立,

即对恒成立,

即 ①对恒成立 7分

当时,①式显然成立; 8分

当时,①式可化为 ②,

令,则其图象是开口向下的抛物线,所以

9分

即,其等价于 ③ ,

因为③在时有解,所以,解得.

从而的最大值为 12分

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、极值，最终确定最值情况。涉及恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到解题目的。

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题型：填空题

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填空题

已知，则为

正确答案

‑1

试题分析：f′（x）=2x+3f'（1），令x=1，得f′（1）=2+3f'（1），f′（1）=-1。

点评：在求导时，很多同学不理解的导数是什么，实际是是一个常数，它的导数为零。

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题型：填空题

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填空题

已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝_____.

正确答案

3

由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点处的导数为切线的斜率，所以f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.

1

题型：填空题

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填空题

函数的单调增区间为

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

设若函数有大于零的极值点，则的范围 ▲

正确答案

a<-3

令，则，

所以，，所以，所以。

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题型：填空题

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填空题

若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_

正确答案

b>0

略

1

题型：填空题

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填空题

若是奇函数，则

正确答案

1

题型：简答题

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简答题

已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

正确答案

解（Ⅰ）因为所以因此

当时，当时，

所以的单调增区间是的单调减区间是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，

所以的极大值为，极小值为

因此

所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当

因此，的取值范围为。

略

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题型：简答题

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简答题

(本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2(1-x).

(Ⅰ)已知n∈N+，当x∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式；

(Ⅱ)求证：对于任意的n∈N+，当x∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤；

(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由

正确答案

解：(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=(x-1)，x∈[n,n+1]，则(x-n)∈[0,1]

→f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). f(x)=f(x-1)=f(x-2)=…=f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). (n=0也适用). ………………4分

(Ⅱ)f(x)=，由f(x)=0得x=n或x=n+

f(x)的极大值为f(x)的最大值，，

又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤(x∈[n,n+1]).…8分

(Ⅲ)y=f(x)，x∈[0,+∞即为y=f(x)，x∈[n,n+1]，f(x)="-1."

本题转化为方程f(x)=-1在[n,n+1]上有解问题

即方程在[n,n+1]内是否有解. ……11分

令g(x)=，

对轴称x=n+∈[n,n+1]，

又△=…=，g(n)=，g(n+1)=，

①当0≤n≤2时，g(n+1)≥0，∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解，即存在三个点P；

②n≥3时，g(n+1)<0，方程g(x)=0在[n,n+1]上无解，即不存在这样点P.

综上所述：满足条件的点P有三个. …………………………16分

略

1

题型：填空题

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填空题

_________

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数的图象过点（0，3），且在和上为增函数，在上为减函数.

（1）求的解析式；

（2）求在R上的极值.

正确答案

（1）的图象过点，

，

又由已知得是的两个根，

故

（2）由已知可得是的极大值点，是的极小值点

略

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题型：简答题

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简答题

（本大题共14分）

已知函数（为实常数）的两个极值点为，且满足

（1）求的取值范围；

（2）比较与的大小.

正确答案

解：

令

的两零点为，且与同号。

得

（2）

+2

时，在上单调递增

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为 .

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设函数

（1）求的表达式；

（2）若，求函数的单调区间、极大值和极小值

正确答案

解：（1）. ………… 2分

（2）时，，

令,得或. ………… 4分

则当变化时，与的变化情况如下表

∴函数的单调递增区间是，…………6分

函数的单调递减区间是； ………… 8分

当时，取得极大值，极大值为； ………… 10分

当时，取得极小值，极小值为. ………… 12分

略

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