热门试卷

解：（1）

（2）

（3）用数学归纳法证明.

略

（1）设，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值。

（2）用数学归纳法证明即可；

（3）证明1：先证对任意正整数，，再证对任意正整数，

．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立，以下可以数学归纳法证明。

试题分析：（1）设，所以

当时，，当时，，当时，．

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，…2分

因为，所以对任意实数均有 ．即，

所以

（2）当时，．用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知。

②假设当（）时，对任意均有，

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，．

即在上为增函数，亦即，

因为，所以．从而对任意，有．

即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有．

（3）证明1：先证对任意正整数，．

由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．

再证对任意正整数，

．

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当（）时，不等式（*）成立，即．

则．

因为 

所以．

这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数，成立 。

点评：本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．题目较难，对学生的能力要求较高，我们在做题时，能得满分就得满分，不能得满分的尽量多得步骤分。

(1);

(2)不存在;

(3)证明略.

略

解：（I）依题意，对有，即，…2分

∴对一切成立，                …………4分

由此得到，，

又∵，∴。                                  …………6分

（II）证明：由，得  ………6分

当时，有，此时。 

∴在上是增函数。                            …………6分

（1）设且，则

即

（2） 

（2） 

略

解：(1)∵f ′(x)=x2+2ax－b ,

∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)=－,

∴ 解得：…………………………2分

∴ f (x)=x3－x2－3x。

f ′(x)=x2－2x－3=（x+1）（x－3）.

令f ′(x)=0，得x1=－1，x2=3，……………3分

由此可知：

∴ 当x=－1时, f (x)取极大值. …………………………6分

(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴f ′(x)=x2+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.

根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：

也即…………………9分

作出不等式组表示的平面区域如图：

当直线z=a+b经过交点P(－, 2)时，

z=a+b取得最小值z=－+2=,

∴z=a+b取得最小值为……………………12分

略