导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

若连续且不恒等于的零的函数满足，试写出一个符合题意的函数

正确答案

当中实数为常数

逆用就可以得到答案的．当然，该问题可以给出多个答案的，如：

，等．

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题型：简答题

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简答题

试求过点且与曲线相切的直线方程．

正确答案

点不在曲线上，应先求切点．

设所求切线的切点为，

是曲线上的一点，．又过点的切线斜率为，

而所求切线过点和两点，

其斜率又应为．

，将它与联立得或

即切点分别为或．

于是当切点为（时，切线斜率，

相应切线方程为，即；

当切点为时，切线斜率，相应切线方程为，

即．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设函数

（1）当时，求的最大值；

（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

正确答案

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则．令，．

因为，，所以（舍去），

，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．（12′）

略

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题型：简答题

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简答题

（12分）

已知函数

（1）求函数＝的最大值；

（2）若，求证：

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（满分12分）

已知曲线在第三象限

（1）求P0的坐标；

（2）若直线的方程。

正确答案

由 …………2分

由已知得

当 ………………4分

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（—1，—4） …………6分

（2） …………8分…………12分

略

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题型：填空题

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填空题

若幂函数的图象经过点（4，2），则函数的单调递增区间为。

正确答案

（0，+）

略

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题型：简答题

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简答题

若一物体运动方程如下：求此物体在和时的瞬时速度．

正确答案

物体在和时的瞬时速度分别是6和0

当时，，

．

当时，，

．

所以，物体在和时的瞬时速度分别是6和0．

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题型：简答题

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简答题

在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；

（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？

（3）你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ) 不具有相等的最大值。（Ⅲ）略

（1）

（2）当x=62或63时，（元）网

又是减函数当x=1时，与不具有相等的最大值。

（3）边际利润函数当x=1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大。是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少。

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题型：填空题

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填空题

函数在处的切线的斜率为．

正确答案

e.

试题分析：因为，所以.

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题型：填空题

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填空题

下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)

正确答案

③⑤

试题分析：①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤

点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题

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题型：填空题

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填空题

函数,则=

正确答案

1-cosx

.

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题型：简答题

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简答题

已知函数，．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围．

正确答案

解（Ⅰ）由导数运算法则知，．

令，得． ……分

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故当时，有极大值，且极大值为． ……分

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，等价于只需在上的最大值小于． ……分

设（），由（Ⅰ）知，在处取得最大值．

所以，即的取值范围为． ……分

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在处的切线方程为 .

正确答案

试题分析：∵，∴，∴，，∴，

∴曲线在处的切线方程为.

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题型：简答题

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简答题

已知函数，为正常数．

(Ⅰ)若，且，求函数的单调增区间；

(Ⅱ)若，且对任意都有，求的的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）， ;（Ⅱ）.

试题分析：(Ⅰ) 利用导数求解单调区间，导数大于零，原函数单调递增，然后解不等式；(Ⅱ)利用导数研究单调性，进而求最值.

试题解析：(Ⅰ)，

∵，令，得，或，

∴函数的单调增区间为， .

(Ⅱ) ∵，∴，∴，

设，依题意在上是减函数.

当时，，，

令，得：对恒成立，

设，则，

∵，∴，

∴在上是增函数，则当时，有最大值为，∴. 10分

当时，，，

令，得：，

设，则，

∴在上是增函数， ∴， ∴，

综上所述，.

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