导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知函数的单调递增区间为，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当取最小值时，点是函数图象上的两点，若存在使得，求证：

正确答案

见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1），依题意是方程的两根有：

（2）

取最小值时，，

在上是增函数，，

，从而，结合函数单调性得到证明。

解：（Ⅰ）………………………2分

依题意是方程的两根有：………………………………4分

……6分

（Ⅱ）

取最小值时，，…………………………7分

在上是增函数，，

，从而……………………………8分

即

…………10分

考虑函数，因，故当时，有，

所以是上是减函数.

由，得…………………12分

由及得

故,即.

……………………14分

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）函数在P点处的切线平行于直线，求的值。

正确答案

。

本试题主要是考查了三角函数的性质以及导数几何意义的运用。先求解导数，然后利用，得到的值，因此可解得。

解：由，得 ………………5分

所以

即,所以 ………………10分

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)= x3+2x,则

正确答案

.

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题型：填空题

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填空题

垂直于直线且与曲线相切的直线方程为___ .

正确答案

解：

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题型：简答题

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简答题

（10分）已知函数

（1）判断函数在区间

上的单调性；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值。

正确答案

（1），

；

在上是减函数；

（2）当时，恒成立，即对恒成立，即在的最小值大于；

记

则在上单调增，又

，存在唯一实数根，且满足

由时，；时知的最小值是正整数的最大值是3.

略

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题型：填空题

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填空题

已知曲线的切线过点，则切线的斜率为______.

正确答案

或

试题分析: 设切点为，所以切线的斜率为，解得或所以切线的斜率为或.

点评：对于此类问题，学生要分清所给点是否在曲线上.

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题型：填空题

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填空题

函数单调增区间是 ;

正确答案

所以单调增区间为。

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题型：填空题

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填空题

函数的导数=__________

正确答案

解：因为

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题型：填空题

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填空题

已知集合,有下列命题

①若　则；

②若则；

③若则的图象关于原点对称；

④若则对于任意不等的实数，总有成立.

其中所有正确命题的序号是 .

正确答案

②，③

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数，其中实数。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，试讨论的单调性。

正确答案

（1）

（2）增区间：和减区间：

略

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数的图像过点，且，．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（Ⅲ）记，为数列的前项和．求证：．

正确答案

解：（Ⅰ），有题意知，

∴，则 …………………………3分

（Ⅱ）数列满足又，

∵， ∴，

当时,也符合 …………………………………………………7分

（Ⅲ）

……………………………………………………11分

∵，，

又∴ …………………………………………12分

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分11分）

正确答案

(Ⅰ)的定义域为.…………………1分

=（），

（Ⅱ）由条件可得，

则当时，恒成立，………………7分

令，则…………………8分

方法一：令，

则当时，，所以在（0，+）上为减函数.

又，

所以在（0，1）上，；在（1，+）上，．………9分

所以在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.

所以，所以……………11分

方法二：当时，；

当时，．……………9分

所以在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.

所以，所以………………11分

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数在取得极值。

（Ⅰ）确定的值并求函数的单调区间;

（Ⅱ）若关于的方程至多有两个零点，求实数的取值范围。

正确答案

解（1） ∵, ∴又恒成立,

∴, ∴, ∴.

（2）,

当或时, 即或时, 是单调函数.

（3） ∵是偶函数∴,

∵设则.又 ∴

＋,∴＋能大于零.

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是 . (2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围 .

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是 .

正确答案

(1)

本题考查导数及函数的单调性

由得

(1)若函数在总是单调函数，则恒成立，所以无实数根，则，解得.

(2)若函数在上总是单调函数，则在上恒成立.

因为是以为对称轴，开口向上的抛物线，所以，解得

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则在（-3，1）上恒成立，

则在（-3，1）的最大值不大于零.

因为，则，解得.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）

设函数．

（I）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（II）若关于x的方程在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围．

正确答案

解：（1）（2）

略

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