导数及其应用
共6208题

导数及其应用
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题型：填空题

填空题

函数f（x）=2x3－3x2―12x+5在［0，3］上的最大值是，最小值是．

正确答案

5，－15

解：由题设知y'=6x2-6x-12，

令y'＞0，解得x＞2，或x＜-1，

故函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增，

当x=0，y=5；当x=3，y=-4；当x=2，y=-15．

由此得函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，-15；故应填 5，-15

题型：填空题

填空题

曲线在点处的切线的方程为_______________；

正确答案

，斜率，切线方程为即

题型：填空题

填空题

曲线y=x2－2x在点(1,－)处的切线的倾斜角为__________.

正确答案

135°

y′=x－2, ∴y′|x=1=1－2=－1.由tanα=－1,0°≤α<180°,得α=135°.

题型：填空题

填空题

已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于＝．

正确答案

试题分析：对求导，知，令可得，解得．

题型：简答题

简答题

（10分）设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立. 已知，且时，.

（1）求的值K]

（2）判断在上的单调性，并给出你的证明

（3）解不等式.

正确答案

解：(1)令x=y="1," 则可得f(1)="0," 再令x="2," y=, 得f(1)=f(2)+f(), 故f()= -1………2分

(2)设0＜x1＜x2, 则f(x1) +f()=f(x2) 即f(x2) -f(x1)=f(),

∵＞1, 故f()＞0, 即f(x2)＞f(x1) 故f(x)在(0, +∞)上为增函数……………………6分

(3)由f(x2)＞f(8x-6) -1得f(x2)＞f(8x-6) +f()=f [(8x-6)],

故得x2＞4x-3且8x-6＞0, 解得解集为{x|＜x＜1或x＞3}………………………10分

略

题型：填空题

填空题

如果质点M按规律运动，则该质点在时的瞬时速度为。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

已知：

（1）设的一个极值点。求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围。

正确答案

（1）（2）

（1）

又 2分

由 4分

由

得在[-2，2]上的最大值为，最小值为

（2）由（1）知，

先考虑在[-1，1]是单调函数，则的符号在（-1，1）上是确定的

此时对于一恒成立

由二次函数性质，知得：

在[-1，1]上不是单调函数时，

的取值范围是

题型：填空题

填空题

球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为。

正确答案

设四棱柱的底面的边长为，高为，则，∴。，∴，∴，由得，∴，此时有最大值。

题型：填空题

填空题

将长为的铁丝围成矩形，则当长和宽各为，矩形的面积最大。

正确答案

设矩形的一边长为，则另一边长为，，面积为，则，当时，有最大值。

题型：填空题

填空题

已知某厂生产某种商品（百件）的总成本函数为（万元），总收益函数为（万元），则生产这种商品所获利润的最大值为。此时生产这种商品百件。

正确答案

设利润为，则，∴，由得，∴时，音调递增，时，音调递减，∴时，有最大值

题型：填空题

填空题

曲线C：在x＝0处的切线方程为________．

正确答案

试题分析：因为，，所以，，

曲线在点处的切线的斜率为，

曲线在点处的切线的方程为，

故答案为．

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为。

正确答案

试题分析：设点p（a,b）(a<0),∵，∴，∴点P处的切线的斜率为,解得a=-2,∴，故点P的坐标为

点评：导数的几何意义：导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，即

题型：填空题

填空题

点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为

正确答案

试题分析：根据题意可知，由于点P是曲线上任一点，那么点P(x, ),则利用点到直线的距离公式 ,令f（x）=（x＞0），则f′(x)=，令f′（x）=0，解得x=1．当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，也是最小值，且f（1）=1＞0．∴点P到直线y=-x的最小距离d=,故答案为。

点评：整理掌握利用导数研究函数的极值和最值、点到直线的距离公式是解题的关键

题型：填空题

填空题

曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．

正确答案

y＝2x＋1

y′＝，所以k＝y′|x＝－1＝2，故切线方程为y＝2x＋1.

题型：填空题

填空题

函数的导数为。

正确答案

【错解分析】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。

【正解】

【点评】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。

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