热门试卷

（1） （2）在[－4，.m 1]上的最大值为13，最小值为－11。

试题分析：（1）先求函数f（x）=x3+ax2+bx+5的导函数，再由x=时，y=f（x）有极值，列一方程，曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3，列一方程，联立两方程即可得a、b值

（2）先求函数f（x）=x3+ax2+bx+5的导函数，再解不等式得函数的单调区间，最后列表列出端点值f（-4），f（1）及极值，通过比较求出y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值。

解：（1） 

由题意，得  

所以， 

（2）由（1）知，

在[－4，.m 1]上的最大值为13，最小值为－11。考点：

点评：解决该试题的关键是理解导数的读好对于函数单调性的影响，导数大于零得到的区间为增区间，导数小于零得到的区间为减区间，进而判定单调性得到最值。

（1）

（2）在处取得极大值

试题分析：（Ⅰ），

由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令故在上为增函数；……………………9分

令，故在上为减函数；……………………12分

故在处取得极大值。…………………………………………………13分

点评：利用导数的几何意义求切线的斜率是做第一问的关键，也是做第二问的基础。

 （1）；（2）.

试题分析：（1）函数在处取得极值，知，再由函数只有一个零点和函数的图象特点判断函数的极大值和极小值和0的大小关系即可解决，这是解决三次多项式函数零点个数的一般方法，体现了数形结合的数形思想；（2）三次函数的导函数是二次函数，要使三次函数在不是单调函数，则要满足导数的，要使函数在区间上不是单调函数，还要满足三次函数的导函数在上至少有一个零点.

试题解析：（1），由，

所以，

可知：当时，，单调递增；当时，，单调递减；

当时，，单调递增；而.

所以函数只有一个零点或，解得的取值范围是.

.由条件知方程在上有两个不等的实根，且在至少有一个根.由 ；

由使得：.

综上可知：的取值范围是.

（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）当时，；当时，．

导数主要考查有导数有关的概念、计算和应用（定积分的应用）。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与不等式的证明、解析几何、方程的解及函数零点等问题。

解：（I）定义域为．          ………………………1分

．                            

令，则，所以或． ……………………3分          

因为定义域为，所以．                            

令，则，所以．

因为定义域为，所以．         ………………………5分

所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为．                         ………………………7分

（II） （）．

．                          

因为0<a<2，所以，．令 可得．……9分

所以函数在上为减函数，在上为增函数．

①当，即时，            

在区间上，在上为减函数，在上为增函数．

所以．        ………………………10分                

②当，即时，在区间上为减函数．

所以．               

综上所述，当时，；

当时，．            ………………12分

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放缩法证明

试题分析：（Ⅰ）设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故函数有最小值，则恒成立      4 分

（Ⅱ）取进行验算：

猜测：①，

②存在，使得恒成立。        6分

证明一：对，且，

有

又因，

故                  8分

从而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

证明二：

由（1）知：当时，，

设，，

则，所以，，，

当时，再由二项式定理得：

即对任意大于的自然数恒成立，          8分

从而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

点评：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法。在证明时,关键在于分析待证不等式的结构与特征,选用适当的方法完成不等式的证明

（1）

（2）

解：（1）

其对称轴在上递减

要使在上存在单调增区间，只须在上的最大值

∴当时，在上存在单调增区间。

（2）由得

∵   ∴

在[1,4]上的图象与x轴的交点只有一个

,在[1,4]上随x变化如下表：

故在[1,4]上     

的最大值  

(Ⅰ)的极小值为 (Ⅱ)在上递减，在上递增

(Ⅲ)

试题分析：(Ⅰ)，

∴在上递减，在上递增，

∴的极小值为.                                                    ……4分

(Ⅱ)， ∴，

①当时，，∴在上递增               

②当时，，

∴在上递减，在上递增.                                  ……8分

(Ⅲ)先解区间上存在一点，使得成立

在上有解当时，，

由(Ⅱ)知

①当时，在上递增，∴， ∴，   ……10分

②当时，在上递减，在上递增，

（ⅰ）当时， 在上递增 ∴，∴无解，

（ⅱ）当时， 在上递减，

∴ ， ∴；

（ⅲ）当时， 在上递减，在上递增，

∴，

令，则，

∴在递减， ∴，∴无解，

即无解                      

综上可得：存在一点，使得成立，实数的取值范围为：或.

所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.        ……14分

点评：导数是研究函数性质的重要工具，研究函数的极值、最值及单调区间时常常用到导数，而求参数的取值范围时，常常需要转化为求最值然后利用导数解决.

本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，（2）是不等式，需要关注两点，一是构造函数并运用函数的单调性证明不等式，二是根据解题要求选择是否分离变量．

（1）先求解定义域，求解导数得到结论。

（2）对于参数b进行分类讨论得到结论。

（3）令b=-1，然后构造函数求证不等式。