热门试卷

解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，

当时，不合题意，

所心

圆心为，的斜率

由知，即，

解得，故

所以。

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为

即若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，

即，化简可得

求解可得

抛物线在点处的切线分别为，

其方程分别为①

② 

 ③

②-③得，

将代入②得，

故所以到直线的距离为。

（1）1；（2）；（3）.

试题分析：（1）先根据导数的几何意义，知所求切线的斜率为，然后根据：对任意，都有，即可得到，进而可得；（2）先由函数图像过原点确定，进而由导数的几何意义与（1）中的导数值，可列出方程组即，解出，代入不等式得到，该不等式恒成立，可得，从中就可以确定的值，进而可写出函数的解析式；（3）先将：对任意，都有等价转化为，先利用导数求出函数的最大值为，于是变成了对恒成立问题，采用分离参数法得到时，恒成立，进一步等价转化为，进而再利用导数确定函数的最值即可.

试题解析：（1）根据导数的几何意义可知，函数在点处切线的斜率就是

因为对任意，都有

所以

所以即函数在点处切线的斜率为1

（2）依题意知，而

因为函数的图像在点处的切线与轴平行

所以     ①

而       ②

由①②可解得

因为对任意，都有即恒成立

所以

（3）由（2）得

所以

当时，，此时函数单调递减，此时

当时，，此时函数单调递增，此时

因为

所以当时，

因为对任意，都有

所以，都有即，所以

令

所以

关注到，当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增

所以

所以.

（1）；（2）.

试题分析：（1）先求导函数，由导数的几何意义知，利用直线的点斜式方程求切线方程；（2）依题意，只需在上成立，故转化为求函数在区间的最小值问题．的根，得，并讨论根定义域的位置，当，将定义域分段，并考虑导数的符号，判断函数大致图象，求函数的最小值；当时，函数单调性，利用单调性求函数的最小值，并列不等式，求参数的取值范围．

试题解析：（1）定义域

当时，，

，

曲线在处的切线方程为：.

（2），令，

在递减，在递增..

若存在实数使不等式成立，

只需在上成立，

①若，即时，

，即，.10分

②若，即时，，解得，故

综上所述：的取值范围．

（1）（2）或

解（1）当时，，

或，随变化情况如下表：

时，                                    …5’

（2）命题等价于对任意，恒成立，即对任意恒成立。                   …6’

，，                         …8’

又，                                            …9’

只需或。

综上：的取值范围为或。                                      …12’

解：（1）当x=1时，y=0，代入得b=0，

所以f(x)=alnx，，

由切线方程知f′(1)=0，所以a=1，故f(x)=lnx。

（2）f(x)≥g(x)恒成立，即恒成立，

因为x＞0，所以t≤2xlnx，

令h(x)=2xlnx，，

当时，h′(x)＜0，所以h(x)在为减函数；

当时，h′(x)＞0，所以h(x)在为增函数；

h(x)的最小值为，故．

（3）由已知，

，

又x＞0，由F′(x)=0得，，，

①当时，得m=1，F′(x)≥0，F(x)在（0，2）为增函数，无极值点；

②当且时，得且m≠1，F(x)有2个极值点；

③当或时，得或m≥2时，F(x)有1个极值点；

综上，当m=1时，函数F(x)在（0，2）无极值点；当或m≥2时，F(x)有1个极值点；

当且m≠1时，F(x)有2个极值点．

解：（1）的图象关于原点对称，

∴恒成立，

即，∴b=d=0，

又得图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0即，

∴，且，

而，∴，

∴，解得：，

故所求函数的解析式为。

（2）解。得x=0或，

又，

令=0，得x=±1，

且当或时，；

当x∈（-1，1）时，<0，

∴在和上递增，在[-1，1]上递减，

∴在上的极大值和极小值分别为，

而，

故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为。

（1）y＝1

（2）(0，＋∞)

（3）

解：(1)因为函数

f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0)，a≠1)，

所以f′(x)＝ax  ln a＋2x－ln a，

f′(0)＝0，又因为f(0)＝1，

所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)由(1)知f′(x)＝axln a＋2x－ln a

＝2x＋(ax－1)ln a.

因为当a>0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

(3)因为存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，而当x1，x2∈[－1,1]时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．当x变化时，f′(x) ，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在[－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值．

f(1)－f(－1)

＝(a＋1－ln a)－

＝a－－2ln a.

令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，

因为g′(a)＝1＋－＝2≥0，

所以g(a)＝a－－2ln a在a∈(0，＋∞)上是增函数.

而g(1)＝0，故当a>1时，g(a)>0，

即f(1)>f(－1)；

当0

所以当a>1时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，易得函数y＝a－ln a在a∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；

当0

即＋ln a≥e－1，易得函数y＝＋ln a在a∈(0,1)上是减函数，解得0.

综上可知，实数a的取值范围为.

（1）.（2）详见解析.

试题分析：（1）根据导数的几何意义求方程；（2）构造新函数用导数法求解；

试题解析：（1）∵，∴切线斜率，

∴在处的切线方程为，

即.          （4分）

（2）令，

∵，

∴当时，，时，，∴，

故，即.           （8分）

（3）先求在处的切线方程，由（1）得，

故在处的切线方程为，

即， （10分）

下面证明，

令，

∵

，

∴时，，时，，∴，

∴，      （12分）

∵，∴，

，

∴.        （14分）

解析：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

又，

解得b=0，a=-3或a=1

（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于

导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．

∵f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，

令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-

若a=-即a=-时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，

当两者不相等时即a≠-时

有a∈（-1，1）或者-∈（-1，1）

解得a∈（-5，1）且a≠-

综上得参数a的取值范围是（-5，-）∪（-，1）

（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． （Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”

易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．

（Ⅰ）由已知得．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以．所以．

所以．                                            3分

（Ⅱ）函数的定义域是，．  

（1）当时，成立，所以的单调增区间为．

（2）当时，

令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是．   

综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是，

的单调减区间是．         8分

（Ⅲ）当时，成立，．    

“当时，恒成立”

等价于“当时，恒成立．”

设，只要“当时，成立．”

．

令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；  

令得，，又因为，所以函数在上为增函数．

所以函数在处取得最小值，且．

所以．  又因为，

所以实数的取值范围．                       13分

（Ⅲ）另解：

（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以．

所以当时，有成立．

（2）当时， 可得．

由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，

所以在上单调递增，又，所以总有成立．

（3）当时，可得．

由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，

所以函数在处取最小值，

且．

当时，要使成立，只需，

解得．所以．

综上所述，实数的取值范围．

由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）

则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0）

在t=t0时的加速度a=s″（t0）

∴v=s′（t）=2t+2 　　

a=s″（t）=2

物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6

加速度a=s″（t）=2|t=2=2

(1)单调递增；（2）≤a<0或0.

试题分析：本题考查导数的应用，（1）判断讨论函数的单调性，可以求出其导数，然后解不等式，其解集区间是函数的单调增区间，不等式的解集区间是函数的单调减区间；（2）在区间上是增函数，说明不等式在区间上恒成立，本题中可求出，因此不等式，由于，则在上恒成立，即的最小值，记，它是二次函数，要求它的最小值，可分和讨论；（3）题意是不等式在上恒成立，记，则当时，恒成立，求其导数，当时，在上，，为减函数，不恒成立（如），时，此时要讨论与的大小，以便讨论函数的单调性，求出其最小值，因为不等式恒成立，就是.

（1）当a=1时，，

所以，                                2分

因为，所以恒成立，

所以在上单调递增；                                    3分

（2）因为，所以，

因为在[1, 4]上是增函数，所以在[1, 4]上恒成立，

即在[1, 4]上恒成立，①                                5分

令，对称轴为x=1，

因为，所以当时，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0

当时，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，

综上，≤a<0或0

（3）由题意，有在上恒成立，

令，则在上恒成立，②

所以，                        10分

当a<0时，因为x>2，则，所以在上单调递减，

又因为，所以②不恒成立，                12分

当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以只需，解得：，

所以时②恒成立；                                            14分

当时，，此时在上单调递增，

所以，

因为，所以，所以②不恒成立，

综上，实数 的取值范围是：。                        16分

解：(I) ,在处切线斜率为-1

,,  

略