热门试卷

解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）

由题意可得，kAP==，

由导数的几何意义可得，kAP=2x1，

∴=2x1，

整理可得，

同理可得﹣1=0，

从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，

∴x=a±，k1=，k2=，

∴k1·k2==﹣4，

即k1·k2为定值﹣4．

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由于y'=2x，

故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），

则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）

∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（Ⅲ）即A（a，0）点到PQ的距离，

要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，

而A到直线PQ的距离d===≥，

当且仅当，

即a2=时取等号，

∴最小值为．

(1) 1000 ;(2) 6000.

试题分析：（1）先根据题意设生产x件产品的平均成本为y元，再结合平均成本的含义得出函数y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可；

（2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品．.

试题解析：解：（1）设平均成本为元，则，

，令得．

当在附近左侧时；

在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．  6分；

（2）利润函数为，，

令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．      12分；

解：（Ⅰ）

所以直线的斜率

故所求切线方程为     ······················6分

（Ⅱ）

因为为函数的极值点

所以

解得（经检验符合题意）

         ·························12分

略

（1）;（2）①当时，，即；②当时，；③当时，即;（3）详见解析

试题分析：（1）根据题意切线平行于x轴即斜率为0，则对函数求导可得，即，可求出a;（2）根据题意当时，函数就确定下来了，对其求导可得，可研究出函数的单调性情况，为了比较大小可引入一个新的函数，即令，则利用导数对其进行研究可得，而，则可由m与1的大小关系进行分类得出结论;（3）显然两零点均为正数，故不妨设，由零点的定义可得：，即，观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得：，现在我们要证明，即证明，也就是．又因为，所以即证明，即．由它的结构可令＝t，则，于是．构造一新函数，将问题转化为求此函数的最小值大于零，即可得证．

（1），由题，．               4分

（2）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减．

由题，令，

则．                  7分

又，

①当时，，即；

②当时，；

③当时，即．                        10分

（3），， ，，

，                                   12分

欲证明，即证，

因为，

所以即证，所以原命题等价于证明，即证：，

令，则，设，，

所以在单调递增，又因为，所以，

所以，所以                            16分

（1）；（2）.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，求出切点坐标与，再利用点斜式写出相应的切线方程；（2）将问题等价于在上单调递增来处理，然后分别考虑函数和

的单调性与极值，利用两个函数的图象确定直线的位置，利用来进行限制，从而求解出实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意，得，其中，

所以，

又因为，

所以函数的图象在点处的切线方程为；

（2）先考察函数，的图象，

配方得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，且.

因为对于任意、，且，都有成立，

所以.

以下考察函数，的图象，

则，

令，解得.

随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增，且.

因为对于任意、，且，都有成立，

所以.

因为（即），

所以的取值范围为.

(1) 的取值集合为；

(2)存在使成立.且的取值范围为

试题分析：(1)利用导数求出的最小值，令其大于等于即，解得的取值集合； (2)由题意知，令然后说明在内有唯一零点且，故当且仅当时， .

试题解析：（1）若，则对一切，，

这与题设矛盾，又，故.

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时， 取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

.　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（2）由题意知，

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .

综上所述，存在使成立.且的取值范围为.

（1）∵g'（x）=e1-x1xe1-x=ex-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）

（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              …（5分）∵f′(x)=a-(1≤x≤e)

当a≤0时，f′(x)=a-＜0，在区间[1，e]上递减，不合题意

当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意

当0＜a≤时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意

当1＜＜e即＜a＜1时，在区间[1，]上单调递减；在区间[，e]上单递增，

由上可得a∈(，1)，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f()=2+lna≤0可得a≤，则a∈Φ

综上，满足条件的a不存在．…..（8分）

（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于kAB，不妨设0＜x1＜x2，则kAB===a-，而f（x）在点M处的切线斜率为f′(x0)=f′()=a-，故有=…..（10分）

即ln==，令t=∈(0，1)，则上式化为lnt+-2=0，

令F（t）=lnt+-2，则由F′(t)=-=＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+-2=0无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）

（1）；（2）.

试题分析：（1）先求原函数的导函数，根据求切线斜率，从而求得方程；（2）利用导函数求在已知范围内的单调性，再把端点函数值与0,1比较，满足题意解得的取值范围..

试题解析：（1）

（2），由题意得

当时，递减，当时，递增

.

（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据原函数的单调性转化为导数来求；（Ⅱ）利用导数分析单调性，进而求最值.

试题解析：（Ⅰ）若函数在[1,2]上是减函数，

则在[1,2]上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立

∴得，∴a≤            6分

（Ⅱ）假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ 

①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)

②当0<时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增

∴g(x)min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件

③当≥e即0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝> (舍去)

综上所述，存在a＝e2使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3     .15分

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是.

试题分析：（1）直接利用导数证明函数在上单调递增，在证明过程中注意导函数的单调性；（2）将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题处理，但需注意将式子中的绝对值符号去掉，并借助函数的最值出发，构造有关参数的不等式组，再求解参数的取值范围.

试题解析：（1），，，

，

，所以，且函数在上单调递增，

故函数在上单调递增，，即，

故函数在上单调递增；

（2），

，，当时，，则，所以且，

，故函数在上单调递减，由（1）知，函数在上单调递增，

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，

令，则有，则有或，

即方程与方程的实根数之和为四，

则有，解得或，

综上所述，实数的取值范围是.

解：（1）f'（x）=3mx2﹣1，

依题意，得，

即1=3m﹣1，

，

把N（1，n）代得，得，

（2）令，则，

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数

当时，f'（x）=2x2﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值

又因此，当，要使得不等式f（x）k﹣1995对于x[﹣1，3]恒成立，则k15+1995=2010

所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）k﹣1992对于x[﹣1，3]恒成立．

（1）；（2）当，则，无解，即无单调增区间，当，则，即的单调递增区间为，当，则，即的单调递增区间为；（3） 

试题分析：(1) 利用导数的几何意义：曲线在某点处的导数值等于该点处曲线切线的斜率，联立方程组求解； (2)求导，利用倒数分析单调性，注意一元二次不等式根的情形；（3）通过导数对函数单调性分析，结合图像分析零点的问题

试题解析：（1），由条件，得

，即，                      4分

（2）由，其定义域为，

，

令，得（*）                                6分

①若，则，即的单调递增区间为；         7分   

②若，（*）式等价于，

当，则，无解，即无单调增区间，

当，则，即的单调递增区间为，

当，则，即的单调递增区间为                  10分

（3）

当时，，，

令，得，且当，

在上有极小值，即最小值为                      11分

当时，，，

令，得，

①若，方程不可能有四个解；                12分

②若时，当，当，

在上有极小值，即最小值为，

又，的图象如图1所示，

从图象可以看出方程不可能有四个解          14分

③若时，当，当，

在上有极大值，即最大值为，

又，的图象如图2所示，

从图象可以看出方程若有四个解，

必须， 

综上所述，满足条件的实数的取值范围是                      16分