热门试卷

解：（1）∵==2x+1，

∴=3

所以直线l1的方程为y=3（x-1），即y=3x-3，

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点，则直线l2的方程为，

∵ll⊥l2，

∴3（2x0+1）=-1，

∴直线l2的方程为；

（2）解方程组得

又直线l1、l2与x轴交点分别为（1，0）、

∴所求三角形面积。

解：f（x）=2x2+3x-5，

∴△y=f（x1+△x）-f（x1）

=2（x1+△x）2+3（x1+△x）-5-（2×x12+3×x1-5）

=2[（△x）2+2x1△x]+3△x

=2（△x）2+（4x1+3）△x，

（1）当x1=4，△x=1时，△y=2+（4×4+3）×1=21，

∴；

（2）当x1=4，△x=0.1时，△y=2×0.12+（4×4+3）×0.1 =0.02+1.9=1.92，

∴；

（3）在（1）中，，它表示抛物线上P0（4，39）与点P1（5，60）连线的斜率，在（2）中，，它表示抛物线上点P0（4，39）与点P2（4.1，40.92）连线的斜率。

（1）的单调递增区间为，的单调递增区间为；

（2）.

试题分析：（1）可求得，结合函数的定义域为，需对a的正负形进行分类讨论，从而得到f(x)的单调区间；（2）根据（1）中得到的f(x)的单调性，可得f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此f(x)的最小值即为.

（1）由题意，的定义域为，且     1分

①的单调递增区间为     4分

② 当时，令，得，∴的单调递增区间为            7分

（2）由（1）可知，

.     

（1）S(t)＝（2）a＝，

(1)y′＝－2ax，∴切线斜率是－2at，

∴切线方程为y－(1－at2)＝－2at(x－t)．

令y＝0，得x＝，∴M，令x＝0，得y＝1＋at2，∴N(0，1＋at2)，

∴△OMN的面积S(t)＝.

(2)S′(t)＝，

由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.

当3at2－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；

当3at2－1<0，即0时，S′(t)<0.

∴当t＝时，S(t)有最小值．

已知在t＝处，S(t)取得最小值，故有＝，

∴a＝.故当a＝，t＝时，S(t)min＝S＝＝.

解：∵f（1）=1，∴a+b+c=1． ①

又f′（x）=2ax+b，

∵f′（2）=1，∴4a+b=1．②

又切点（2，﹣1），

∴4a+2b+c=﹣1．③

把①②③联立得方程组

解得

即a=3，b=﹣11，c=9．

解：          

。

解：设切点坐标为P（，b），

，

则有，

解得：或，

∴P（0，0）或P（），

∴所求切线方程为或。

（1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为.      （3分）

考察，，

由上表可知：，

，

所以满足条件的最大整数.                         （7分）

，下证当时，在区间上，函数恒成立.

当且时，，

记，，  

当，；当，

，

即对任意，都有.                   （12分）

方法二：当时，恒成立

等价于恒成立，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以. 

略

（1）；（2）；（3）．

试题分析：（1）应用导数的几何意义，求导数，求斜率，确定切线方程；

（2）由已知确定；

根据得：．

，只需．

应用导数，求函数，，的最大值即得解；

（3）设为在时的图象上的任意一点，可得，，．

由于，得到．

， 的情况，求得的取值范围.

方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.

试题解析：（1），

，

在处的切线方程为：，即                  4分

（2），

，从而                      5分

由得：．

由于时，，且等号不能同时成立，所以，．

从而，为满足题意，必须．                         6分

设，，则．

，，

从而，在上为增函数，

所以，从而．                               9分

（3）设为在时的图象上的任意一点，则

的中点在轴上，的坐标为，

，，所以，，．

由于，所以．                                   11分 

当时，恒成立，；                            12分

当时，，

令，则

，，，从而在上为增函数，由于时，，， 

综上可知，的取值范围是．                                        14分

（1）（2）的最大值为，

（1）由题设，得（），（2分）

当时，，当时，，当时，，

故（8分）

（2）易知当时，为单调递增函数，，（10分）

当时，为单调递减函数，，（12分）

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．（16分）

解：(Ⅰ) 因为函数的图像关于原点对称，

所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以恒成立，故，…………………3分

故，

又时，取极小值，所以，且，

所以………………①

……………………②

解得：，；

所以，（）…………………………………………………6分

（Ⅱ）当时，图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.

证明如下：（方法1，用反证法）

①假设在的图像上存在两点，，使得在此两点处的切线互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在两点处的切线斜率均存在.

由假设则有，…………………………8分

从而，

另一方面，，所以，所以，

与前式显然矛盾.所以，

当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分

（方法2）

设，为的图像上两点，由(Ⅰ) 可知，

且在点和点处的两条切线的斜率均存在.

不妨设在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，

则，；………………8分

所以 ，

由题意，，

所以，即

综上所述，当时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.……12分

略

(1); (2) 时，函数无极值；时，函数在处取得极小值，无极大值．

试题分析：(1) 由a=2得的解析式，进而可求出导数；由导数的几何意义可知：曲线在点处的切线的斜率，从而用直线的点斜式可写出切线方程；(2)由发现：当时方程无解，当时,由,解得，因此需按和分类讨论.

试题解析：函数的定义域为，．

当a=2时,,, 曲线在点处的切线方程为：，即.

由可知:

①当时, ,函数为上增函数,函数无极值;

②当时,由,解得;时,时,

在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

综上：当时，函数无极值；

当时，函数在处取得极小值，无极大值．

⑴ 在上的最小值为；⑵ 的取值范围为．

试题分析：⑴ 对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；

⑵ 先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．

（1）                           1分

根据题意，         3分

此时，，则.

令

∴当时，最小值为.                  8分

（2）∵，

①若，当时，，∴在上单调递减.

又，则当时，.

∴当时，不存在，使               11分

②若，则当时，；当时，.

从而在上单调递增，在上单调递减.

∴当时，      14分

根据题意，，即，∴.            15分

综上，的取值范围是.                            16分