热门试卷

∵f（x）在R上是单调函数∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在x∈R成立

而f'（x）=x2+ax+a在x∈R上不可能有f'（x）≤0成立，则只有f'（x）≥0，在x∈R成立，

即x2+ax+a≥0在x∈R恒成立．

∴△=a2-4a≤0∴0≤a≤4

又f'（x）=x2+ax+a＜4a即x2+ax-3a＜0在x∈[-1，1]成立，

令g（x）=x2+ax-3a，

由图象知：∴∴a＞

∴实数a的取值范围是＜a≤4

（1）∵点A（4，0）、B（2，4）．

∴kAB==-2，

∴y=-2（x-4）．

∴所求割线AB所在直线方程为2x+y-8=0．

（2）y′=-2x+4，-2x+4=-2，得x=3，y=-32+3×4=3．

∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y-9=0．

故在曲线AB上存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行．

设切线方程为y=k（x-2），所以因为相切所以△=0，解得k=0或k=-1，

∴切线方程为x+y-2=0．或y=0

（1）x－y＋1－＝0

（2）则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．

（3）见解析

解：(1)由题意得所求切线的斜率k＝f′()＝cos＝.

切点P(，)，则切线方程为y－＝ (x－)，

即x－y＋1－＝0.

(2)g′(x)＝m－x2.

①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；

②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－或x>，

则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．

(3)证明：当m＝1时，g(x)＝x－.

令h(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，

则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．

故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即sinx.

（1）在每一个区间上单调递增

（2）

（1） ∴

∴∴ 

∴在每一个区间上单调递增  (6分)

（2）  ∴

又

    (12分)

（1）； (2)  ；（3）  . 

要求函数在点处的切线方程，先求，即确定的点，在求3处的导数，即斜率；

求函数在区间上的最小值为时，一般先求函数在区间上的单调性，在确定在某处取得最小值；

将函数与的图像有三个不同的交点，转化为有三个不同的根，即有三个不同的根  设 与x轴有3个交点。

解：（1）由题知  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

                               ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

                                ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

曲线在点处的切线方程为.┈┈┈┈┈┈1分

(2)由题知                  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

令的或

①   时      即  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

② 当时        

   不符合            ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

③ 当时   当时    

当时     

即  不符合                      ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

综上知：                          ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

（3）由题知有三个不同的根，即有三个不同的根  设  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

令的 或              ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

    当时 ；当时 ；

当时       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

 即        ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

由有：，

有①②，

由得，即③，

又由得：，即④，

由①，②，③，④得，，

，

．

（I）由题意得，f′（x）=x-a+，

∵在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，

∴在点（2，f（2））处的切线的斜率是，即f′（2）=2-a+=，

解得a=2，

（II）由（I）知，f′（x）=x-a+=，且x＞0，

∵f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

即x2-ax+a+1≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

设g（x）=x2-ax+a+1，对称轴x=，

则或，解得-1≤a≤0或0＜a＜2+2，

故a的取值范围是-1≤a＜2+2，

（III）“＞1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1，

即在任一点处的切线斜率k＞1，

即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，

∴f′（x）=＞1，且x＞0，即x2-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，

设h（x）=x2-（a+1）x+a+1＞0，且对称轴x=，

由-1＜a＜3得，0＜＜2，

则h(x)min=h()=(

a+1

2

)2-(a+1)+a+1=，

由-1＜a＜3得，＞0，

故结论得证．

解：（1）由题意，f '（x）=3kx2﹣6（k+1）x

f '（4）=0，

k=1

（2）f '（t）=3t2﹣12t

﹣1＜t＜0，f '（t）＞0，

0＜t＜1，f '（t）＜0

f（﹣1）=﹣5，f（1）=﹣3

f（t）﹣5

2x2+5x+a

令，即，

解得．当时，，当时，．

函数在点处取得极小值，也是最小值为，

即．