热门试卷

（1）2x－y－4＝0，（2）当a＝0时，f(x)的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；

当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)，减区间为(2，)；当a＝时，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a＞时，f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)，减区间为(，2)

试题分析：（1）利用导数集合意义，在处导数值等于该点处切线的斜率，因为，所以

f ′(1)＝2, 又切点为(1，－2)，所以所求切线方程为y＋2＝2(x－1)，（2）函数f(x)的单调性之所以要讨论，就是由于导函数为零时根的不确定性.因为，所以当a＝0时，方程在定义域内只有一根；当时，需讨论两根的大小，三种情况0＜a＜，a＝，及a＞需一一讨论.解题过程中，最易忽视的是两根相等的情况；答题时最易出错的是将两个单调性相同的不连续区间用“并集”“或”合并写.

试题解析：解（1）当a＝0时，f(x)＝－2x＋4lnx，

从而，其中x＞0．                         2分

所以f′(1)＝2．

又切点为(1，－2)，

所以所求切线方程为y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0．      4分

（2）因为f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，

所以，其中x＞0．

①当a＝0时，，x＞0．

由f′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；    6分

②当0＜a＜时，因为＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．

所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)；单调减区间为(2，)；      8分

③当a＝时，，且仅在x＝2时，f ′(x)＝0，

所以函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；

④当a＞时，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，

所以函数f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)；单调减区间为(，2)．

综上，

当a＝0时，f(x)的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；

当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)，减区间为(2，)；

当a＝时，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；

当a＞时，f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)，减区间为(，2)．   10分

（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；

所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c

由题意得 ，

解得 a=，c=-

所以f（x）=x 3-x．

（II）不存在．

证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1

所以（x12-1）（x22-1）=-4

因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]

因此（x12-1）（x22-1）≠-4

所以不存在．

（1）f（x）的导数f'（x）=3x2，

由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；

（2）①依题意，在切线方程中令y=0，

得x2=x1-=，

x2-a13=(2+a-3a13)=(x1-a13)2(2x1+a13)≥0，

∴x2≥a13，当且仅当x1=a13时取等成立．

②若x1＞a13，则x13-a＞0，x2-x1=＜0，

且由①x2≥a13，

所以a13＜x2＜x1．

(1)(2)详见解析(3)

试题分析：

(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.

(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.

(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.

试题解析：

(1)由已知，          1分

，所以斜率，          2分

又切点，所以切线方程为)，即

故曲线在处切线的切线方程为。      3分

(2)      4分

①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为.

5分

②当时，由，得.        6分

在区间上，，在区间上，，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.    7分

（3）由已知，转化为.      8分

，所以      9分

由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.)      10分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，   12分

所以，解得.    14分

2，-1

  在处可导，必连续         ∴

       ∴    

(1)   或  (2) 最大值为

试题分析：

(1) 根据题意可知,直线过点,但是并没有说明该点是不是切点,所以得设出切点坐标,根据导数的几何意义可知,曲线切线的斜率就是在切点横坐标处的导数,然后利用点斜式求得切线方程;代入点可求出切点,从而得切线方程.

(2)首先利用导数求得极值点和函数的单调区间,根据的范围可判断出函数在所给区间上的单调性,从而得出在该区间上的最小值(含),令其等于可得,从而求出在该区间的最大值.

试题解析：

（1）根据题意可知,直线过点,但是并没有说明该点是不是切点,所以设切点为，

因为函数的导函数为,

所以根据导数的几何意义可知,切线的斜率，

则利用点斜式可得:切线的方程.

因为过点，所以 ，

解得 或                 

故的方程为    或 ，

即   或  .

（2）令 得，，

故在上递减，在上递增，在上递减.

当时，有，所以在上的最大值为

又，即.

所以在上的最小值为，得

故在上的最大值为

（1）f(x)＝（2）k∈

(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝.

∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，

∴　即 ∴a＝4，b＝1，∴f(x)＝.

(2)∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝，

令t＝，t∈(0，1]，则k＝4(2t2－t)＝82－，∴k∈

（1），不存在；（2）参考解析

试题分析：（1）由函数在处的切线的斜率为，通过求导以及将x=1代入导函数即可得到的值.根据的对函数求导，由定义域的范围即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性.

（2）需证明，由题意可得令=1.即可构造.只需令.即可得到.所以只需证明在单调递减即可.由题意可得结论成立.

（1）由已知可得函数的定义域为

                                                      （2分）

在是单调递增       

 的最大值不存在                              （6分）

（2）由（1）令，则

,

,当且仅当时等号成立

令                                       

则

（Ⅰ）(1)的单调增区间为和,单调减区间为 

(2)当时, ,的单调增区间为 

（Ⅱ）时，使恒成立.

(1)先求出,根据定义域,然后讨论对a进行讨论确定单调区间。

（2）解本题的关键是恒成立可转化为恒成立，

令，则只需在恒成立即可.然后再利用导数研究其最值，问题得解。

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

…………………………2分

(1)当时，由得，或，由得， 

故函数的单调增区间为和,单调减区间为…………4分

(2)当时, ,的单调增区间为…………………………5分

（Ⅱ）恒成立可转化为恒成立，

令，则只需在恒成立即可，………6分

当时，在时，，在时，

的最小值为，由得，

故当时恒成立，          ……………………………………9分

当时，，在不能恒成立，……………11分

当时，取 有 在不能恒成立，…13分

综上所述当时，使恒成立.           ………………………14分

解：（Ⅰ）当时，

，……………………2分

,

所以曲线在点处的切线方程为.        ……………4分

（Ⅱ），令，解得 ……………6分

因为，以下分两种情况讨论：      

（1）若变化时，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分

（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是……………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，

以下分两种情况讨论：

（1）当时，在（0，1）内单调递减，

.

所以对任意在区间（0，1）内均存在零点.………………………12分

（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，

若,

.  所以内存在零点.

若.

,        所以内存在零点. …………………13分

所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.

综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点.  …………………14分

略

解：（I）略…………………………………(4分)

（Ⅱ）．                   ……………………………(6分)

得．当变化时，与变化情况如下表：

当x=1时，取得极小值．   没有极大值． ……………………(9分)

（Ⅲ）设切点，则切线的斜率为．

弦AB的斜率为． …(10分)

由已知得，，则=，解得，…………(12分)

所以，弦的伴随切线的方程为：．……(13分)

略

（1）（2）

（I）的图像过P（2，0），

                                …………2分

                                                   …………4分

又

                                                      …………6分

（II）,

同理，由…………8分

因此，当；……10分

当                                  …………12分