热门试卷

（I）；（II）详见解析.

试题分析：（I）由切点在切线上，代入得①．由导数的几何意义得②，联立①②求；（II）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可．该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为．且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系．

试题解析：（I）函数的定义域为．．

由题意可得，．故．

（II）由（I）知，，从而等价于，设函数，则．所以当时，；当时，．故在递减，在递增，从而在的最小值为．设，则．所以当时，；当时，．故在递增，在递减，从而在的最大值为．综上，当时，，即．

【考点定位】1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的最值．

，a＝.

设切点A(x0，y0)，

 

＝3－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3－2x0(d→0)．

故曲线上点A处切线斜率为3－2x0，∴3－2x0＝1，

∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得

或代入直线l，

当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，

即切点坐标为，a＝.

 （1）割线的斜率为；

（2）

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用求解切线方程和斜率的总额和运用

（1）因为由题可知点P和点Q均在曲线上，又点P和点Q的 横坐标为1和4，则点P和点Q的纵坐标为-4和5则割线的斜率为

（2）因为的导数为，那么把x=1代入可知切线的斜率，进而得到切线方程。

解：由题可知点P和点Q均在曲线上，又点P和点Q的 横坐标为1和4，则点P和点Q的纵坐标为-4和5.

（1）割线的斜率为

（2）的导数为，当

解：（1）……………………………………2分

因为当时，，所以是函数的递增区间；…………4分

当时，，所以是函数的递减区间；…………5分

显然，当时，函数有最大值，最大值为………………6分。

（2）令则，

………………………………………………9分

当时，，所以在（1，+∞）上为增函数。

所以当时，，

故即………………………………………………12分

略

（Ⅰ）由题设知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-)．

令f′(x)=0得x1=0，x2=．

当（i）a＞0时，

若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，

所以f（x）在区间(-∞，)上是增函数；

若x∈(0，)，则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间(0，)上是减函数；

若x∈(，+∞)，则f'（x）＞0，

所以f（x）在区间(，+∞)上是增函数；

（ii）当a＜0时，

若x∈(-∞，)，则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间(-∞，)上是减函数；

若x∈(0，)，则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间(0，)上是减函数；

若x∈(，0)，则f'（x）＞0，

所以f（x）在区间(，0)上是增函数；

若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，

所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，

且函数y=f（x）在x=0，x=处分别是取得极值f(0)=1-，f()=--+1．

因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)•f()≤0．

即(--+1)(1-)≤0．

所以≤0．

故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．

解得-1≤a＜0或3≤a≤4．

即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．

（1）1   （2）见解析   （3）(－∞，－1)

(1)因为f′(x)＝x2－a，

当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.

又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意．

(2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，

当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－，x2＝，

当0＜a＜1时，＜1，

x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

x∈(，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.

当a≥1时，≥1，

x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

综上所述，

当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；

当0＜a＜1时，f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－；

当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.

(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，

所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，

只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，

而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，

所以－a＞－1，即a＜1.

所以a的取值范围是(－∞，－1)．

（1）

   令得

当时， 当时，又

    当且仅当时，取得最大值0        -----------7分

（2）

由（1）知

又

                 -------------13分

略

（1），当时，有极大值，当时，有极小值（2）

（1）的定义域为，

，                                    ………………1分

因在处的切线与x轴平行，则，得，              ………………3分

此时，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，有极大值，当时，有极小值．……6分

（2）令，则的定义域为，

  =（），

则．                                ………………8分

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

当时，，

只需要，

得                                                ………………11分

得

解: ∴  ①

又在图象上,∴ 即  ②

由①②解得， ………………６分

∴………………5分

∴ 解得或3.

  ∴.………………10分

又

∴………………12分