导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．

正确答案

（1）y＝－2 （2）[1，＋∞)

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.

因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，

所以切线方程是y＝－2.

(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域是(0，＋∞)．

当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)．

令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，

得x＝或x＝.

当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；

当1<)

当≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减．

所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)

综上a的取值范围为[1，＋∞)．

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题型：简答题

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简答题

函数的图象记为E.过点作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条，求的值.

正确答案

试题分析：通过对函数f(x)求导，写出切线方程邴代茹A点坐标，然后整理求出极值点，最后得到结果.

. 1分

设切点为，则切线方程为， 2分

将点代入得

，可化为. 4分

设,

，的极值点为. 6分

作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条,

， 8分

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题型：填空题

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填空题

过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是________．

正确答案

2x－y+4=0

试题分析：y’=6x-4，∴切线斜率为6×1-4=2．∴所求直线方程为y-2=2（x+1），即2x-y+4=0．

故答案为：2x-y+4=0．

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题型：简答题

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简答题

设函数的图像与直线相切于点.

（1）求的值；

（2）讨论函数的单调性.

正确答案

(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为，.

试题分析：（1）先求出，结合题中所给的切线与切点可得方程组，从而求解方程组即可得到的值；（2）由（1）中所求得的，确定，从而由，可求出函数的单调增区间，由，可求出函数的单调减区间.

试题解析：(1) 求导得，又因为的图像与直线相切于点

所以有即解得

(2)由得

当或时，，的单调递增区间为，

当时，，的单调递减区间为.

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题型：简答题

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简答题

有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.

正确答案

梯子上端下滑的速度0.875m/s

设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,

当下端移开1 4 m时，t0=,

又s′=－ (25－9t2)·(－9·2t)=9t,

所以s′(t0)=9×=0.875(m/s)

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题型：简答题

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简答题

已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,

(1)设y=f(x)=，试画出y=f(x)的图像并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；

(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围.

(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，］，求b的值.

正确答案

(1)y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，

其表面积为(2+)π.

(2) a的取值范围为2－＜a≤1,

(3) b=

(1）y=f(x)=的图像如图所示.

y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，

其表面积为(2+)π.

(2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－＜a≤1.

(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，］，则可解得b=.

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题型：填空题

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填空题

为迎接2010年11至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m）是h（t）=-4.8t2+8t+10．则该运动员在t=2秒时的瞬时速度为______m/s，经过______秒后该运动员落入水中．

正确答案

h′（t）=-9.6t+8，当t=2秒时，h′（t）=-9.6×2+8=-11.2，令h（t）=-4.8t2+8t+10=0，得t=2.5

故答案为-11.2；2.5．

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题型：填空题

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填空题

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于______．

正确答案

由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y-x03=3x02（x-x0），（1，0）代入方程得x0=0或x0=

①当x0=0时，切线方程为y=0，则ax2+x-9=0，△=()2-4a×(-9)=0⇒a=-

②当x0=时，切线方程为y=x-，由⇒ax2-3x-=0，△=32-4a(-)=0⇒a=-1∴a=-或a=-1．

故答案为：-或-1

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题型：填空题

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填空题

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-x2+3x-，则它的对称中心为______；计算f()+f()+f()+…+f()=______．

正确答案

①∵f（x）=x3-x2+3x-，

∴f′（x）=3x2-3x+3，f″（x）=6x-3，

由f″（x）=0得x=，

f（）=-×+3×-=1；

∴它的对称中心为(，1)；

②设P（x0，y0）为曲线上任意一点，

∵曲线的对称中心为 (，1)；

∴点P关于(，1)的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，

∴f（1-x0）=2-y0．

∴f（x0）+f（1-x0）=y0+（2-y0）=2．

∴f()+f()+f()+…+f()=[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()]=2×1006=2012．

故答案为：(，1)；2012．

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程是；

正确答案

试题分析：，当时，，则切线方程为，即.

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题型：简答题

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简答题

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

正确答案

（1）（2）

（1）先求出即切线的斜率，然后写出点斜式方程，再转化为一般式方程即可.

（2）本小题转化为二次函数在区间上恒成立问题来解决.

解：（1）当时，，.

，．

所以所求切线方程为即．

（2）. 令，得.………7分

由于，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间是和.

要使在区间上单调递增，应有 ≤ 或 ≥，

解得≤或≥．……11分又且，

所以 ≤．即实数的取值范围．

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）

已知函数，其中为实数．

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)存在实数，使得对任意，恒成立

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数求解函数的最值综合运用。

（1）由已知关系式得到函数的定义域，然后把a=2代入原式中，求解函数的导数，利用函数在某点处的导数值即为该点的切线的斜率来求解得到切线方程。

（2）由于要是不等式恒成立，需要对原式进行变形，将分式转化为整式，然后构造函数求解最值得到参数的范围。

解：（Ⅰ）时，，

，，

又

所以切线方程为 ………6分

（Ⅱ）1°当时，，则

令，，

再令，

当时，∴在上递减，

∴当时，，

∴，所以在上递增，，

所以

2°时，，则

由1°知当时，在上递增

当时，，

所以在上递增，∴

∴；

由1°及2°得： ………12分

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题型：简答题

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简答题

设函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）有三个不同的实数解，求的取值范围.

正确答案

（2）.

本试题主要考查了函数与导数的综合运用。

第一问中，利用

得到斜率和点的坐标，表示切线方程即可

第二问中，有三个不同的实数解

则利用函数g(x)=f(x)+a与x轴交点的个数来判定，求解导数，判定单调性和极值，然后利用极值与x轴的位置关系得到结论

解：因为

所以曲线在点处的切线方程

……………………………………7分

（2）因为有三个不同的实数解则利用函数g(x)=f(x)+a与x轴交点的个数来判定，求解导数，判定单调性和极值，然后利用极值与x轴的位置关系得到结论。

……………………………………14分

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题型：简答题

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简答题

、已知二次函数满足：①在x=1时有极值；②图像过点，且在该点处的切线与直线平行.

(1)求的解析式；

(2)求函数的值域；

(3)若曲线上任意两点的连线的斜率恒大于，求的取值范围.

正确答案

（1）设因为x=1处有极值，所以x=1是f(x)的对称轴，过点,并且，求出a,b,c的值，确定f(x).

(II)本小题涉及到复合函数的单调性问题，可以设，利用导数研究出u(x)的单调性，求出u的取值范围，从而求出f(u)的值域.

(III) 设,

然后再解不等式.

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题型：简答题

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简答题

（15分），，

1）若求的极值

2）若在处的切线方程为，求实数的值

正确答案

1）增区间：, 减区间：，极小值

2)

（1）先求出函数的定义域，再求函数的导数，令，得函数的增区间，，得函数的减区间；所以函数的极小值；（2）由题意得，即.

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