热门试卷

函数f(x)在(－∞,0)上是增函数

函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数. 

（1）；（2）；（3），.

试题分析： （1）由向量的数量积可得：

.

这个函数相邻两个零点间的距离等于半个周期，再利用求周期的公式可得的值.

（2）由（1）得，则.

这里不能展开来求，而应考虑凑角： ，这样再利用差角的正弦公式就可以求出的值；

（3）,这是一个三角函数与一个一次函数的差构成的函数，故可通过导数来求它的单调区间.

试题解析：（1）

,3分

由，得，则.4分

（2）由（1）得，则.

由，得，6分

.8分

（3）,

,

∴                10分

∴（）,

即（）,

又,∴在区间上的单调递减区间为:

，.  （12分）

（Ⅰ）（Ⅱ）在，为增函数，在为减函数

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用导数的几何意义表示切线方程关键是切点和切点出的斜率值。

（2）求解导数，然后对于含有参数的二次不等式的解集进行分类讨论得到。

解：（I）时,,

于是,,

所以函数的图象在点处的切线方程为，即．

（II）

=，

∵，∴ 只需讨论的符号．

ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当= 2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅲ）当0＜＜2时，令= 0，解得，．

当变化时，和的变化情况如下表：

∴在，为增函数，在为减函数；

【备注题】（Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

当∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．

当∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.

（1）①若，则，在上单调递增；  ②若，当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增；③若，函数在区间上单调递减.  

（2）故不存在；（3）见解析.

第一问中，利用导数的思想，先求解定义域，然后令导数大于零，小于零，得到函数的单调区间。但是要对参数a分情况讨论得到

第二问中，假设存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直，利用曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

进行分析求解

第三问中，要证，先变形然后利用第二问的结论证明。

解（1）∵，，∴． ……1分

①若，则，在上单调递增；                  ……2分

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，            ……4分

③若，则，函数在区间上单调递减.   ……………………5分

（2）解：∵，，

， ……6分

由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．                     ………………………8分

又，∴．                     ……9分

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．故不存在.       ………………………10分

（3）证明：

，由（2）知，令得.……14分

当截下的正方形边长为1时，容积最大.

本题是考察导数应用的题目先设截下的小正方形边长x,然后建立容积V(x)的关系式，再求导，根据导数等于零，确定最值一般地在应用题中，一般考察的都是单峰函数，导数等于零的位置只有一个，它就是要求的最值位置

解：设截下的小正方形边长x，容器容积为

V（x），则做成长方体形无盖容器底面边长

为8-2x，高为X，于是

V（x）=（6-2x）2 x，0

即      V（x）=4x3 -24x2+36x，0

有  V'（x）=12x2-48x+36

令V'（x）=0,即令12x2-48x+36=0

解得x1=1，x2=3（舍去）

当00;当1

因此x=1是极大值点，且在区间（1,3）内，是唯一的极值点，所以x=1是V（x）的最大值点

即当截下的正方形边长为1时，容积最大

解：（1），，所以的图象在处的切线方程是；2分

设与的图象切于点，而，

且，解得；  5分

（2），在上单调递增，在上单调递减，

且，；      8分

若令，则原命题等价于对于任意，都有唯一的，使得成立．               9分

而，，

①当时，恒成立，所以在上单调递减，要满足条件，则必须有，且，无解，所以此时不存在满足条件的；10分

②当，恒成立，所以在上单调递减，要满足条件，则必须有，且，解得，；11分

③当时，在区间上单调递减，在上单调递增，

又，要满足条件，则，解得，

；   12分

④当时，恒成立，所以在上单调递增，

又，所以此时不存在满足条件；   13分

综上有．   15分

略