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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)做一个体积为32,高为2的长方体纸盒.

(1)若用表示长方体底面一边的长,表示长方体的表面积,试写出关于的函数关系式;

(2)当取什么值时,做一个这样的长方体纸盒用纸最少?最少用纸多少?

正确答案

解:(1)由题意知,该长方体的底面积为,故它的底面另一边长为.

.    …………………6分

(2)法一:要使用纸最少,即是使长方体的表面积最小,也就是求的最小值.

,                 …………………8分

,解得:,(舍去),           …………………9分

时,;

时,,                             …………………11分

∴当处取得极小值,也是最小值,此时().…12分

答:(1);(2)当时用纸最少,最少用纸为.……14分

法二:要使用纸最少,即是使长方体的表面积最小,也就是求的最小值.

,       …………………10分

当且仅当,即时等号成立,此时,. …………12分

答:(1);(2)当时用纸最少,最少用纸为.……14分

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题型:简答题
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简答题

已知函数的图象过点,且在上为增函数,在上为减函数.

(I)求的解析式;

(II)求上的极值.

正确答案

(1)的图象过点

又由已知得的两个根,

………8分

(2)由已知可得的极大值点,的极小值点

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题型:简答题
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简答题

已知函数.(为常数,

(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;

(Ⅱ)求证:当时,上是增函数;

(Ⅲ)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.

正确答案

解:.

(Ⅰ)由已知,得 .

(Ⅱ)当时,,,

时,.又

,故上是增函数.  

(Ⅲ)时,由(Ⅱ)知,上的最大值为

于是问题等价于:对任意的,不等式恒成立.

,(

时,

在区间上递减,此时,

由于时不可能使恒成立,故必有,

.

,可知在区间上递减,在此区间上,有,与恒成立矛盾,故,这时,上递增,恒有,满足题设要求,,即

所以,实数的取值范围为.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)已知函数,在上最小值为,最大值为,求的值.

正确答案

解:由题设知…………………………………………1分

时,时,

时,

由题设知…………3分

时,时,时,

上单减,在和上单增,…………………………………4分

的极小值点,也是最小值点;

的最大值是………………………………………………5分

解得………………………………7分

时,时,时,

上单增,在和上单减,………………………………9

的极大值点,也是最大值点;…………………………………10分

的最小值是   ………………………………………………11分

解得……………………………………………13分

综上,.………………………………………14分

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分) 

已知函数有且只有两个相异实根0,2,且

   

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)已知各项均不为1的数列满足,求通,

(Ⅲ)设,求数列的前项和.

正确答案

解:(Ⅰ)由

 

(Ⅱ)即为 ①

      ②

①-②则

所以 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,所以

上式两边乘以

③+④得

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题型:填空题
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填空题

定义在R上的函数满足的导函数,已知函数的图像如图所示,若两个正整数满足,集合若从中任取两个点,则两点都不在直线上的概率为         

正确答案

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题型:简答题
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简答题

设函数),其中

(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)当时,求函数的极大值和极小值;

(Ⅲ)当时,若不等式对任意的恒成立,求的值。

正确答案

解:当时,,得,且

所以,曲线在点处的切线方程是,整理得

(Ⅱ)解:

,解得

由于,以下分两种情况讨论.

(1)若,当变化时,的正负如下表:

因此,函数处取得极小值,且

函数处取得极大值,且

(2)若,当变化时,的正负如下表:

因此,函数处取得极小值,且

函数处取得极大值,且

(Ⅲ)证明:由,得,当时,

由(Ⅱ)知,上是减函数,要使

只要

        ①

,则函数上的最大值为

要使①式恒成立,必须,即

所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立.

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题型:简答题
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简答题

(理)已知函数f(x)=

(I)求证: <f()< (n∈N+

(II)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围

正确答案

(理)(Ⅰ)令.利用导数可证递增,递增.从而可得结论.

(Ⅱ) ① 当时,对,由(Ⅰ)的证明知.

② 当时,,不合题意.

③ 当时,今.

.

.则.易知当时,递增,即,不合题意.

综上知.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)设x=1和x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点

(1)求a,b的值

(2)求f(x)的单调区间。

正确答案

(1)、

,得a=-,b=-

(2)、(x>0)

得x=1或x=2

∴单调减区间为(0,1),(2,+∞)

单调增区间为(1,2)

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题型:填空题
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填空题

已知函数,则的取值范围是             

正确答案

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题型:填空题
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填空题

函数的最小值为           

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

求过点作抛物线的切线方程.     

正确答案

解:设切点坐标为,切线的斜率为.

......................................................2分

......................................4分

又  .............................‚...................6分

由,‚解得,切点为.......................................8分

当切点为时,,此时切线方程为.....................10分

当切点为时,,此时切线方程为................12分

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题型:填空题
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填空题

在曲线上的点M处的切线倾斜角为45°,则点M坐标是___________

正确答案

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题型:简答题
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简答题

.已知函数.

(1)若存在单调增区间,求的取值范围;

(2)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出的取值范围?若不存在,请说明理由。

正确答案

  

解:(1)由已知,得h(x)=  且x>0,  则hˊ(x)=ax+2-=,  

∵函数h(x)存在单调递增区间, ∴hˊ(x) > 0有解, 即不等式ax2+2x-1>0有解. (2分)

① 当a<0时, y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax2+2x-1>0总有解,只需Δ="4+4a>0," 即a>-1. 即-1

② 当a>0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,  ax2+2x-1>0 一定有解.               

综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞)  (5分)

(2)方程

解得,所以的取值范围是    (12分)

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题型:简答题
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简答题

(本题满分14分)已知函数

(Ⅰ)若函数上为增函数,求正实数的取值范围;

(Ⅱ)当时,求上的最大值和最小值;

(Ⅲ)当时,求证:对大于的任意正整数,都有 。

正确答案

解:(I)     ……………1分

∵ 函数上为增函数

∴ 恒成立,              ……………………2分

∴ 恒成立,即恒成立

∴                                               ……………………4分

(II)当时,

∴ 当时,,故上单调递减;当时,,故上单调递增,         ………………6分

在区间上有唯一极小值点,故 ……7分

 

∵     ∴ 

在区间上的最大值

综上可知,函数上的最大值是,最小值是。………………9分

(Ⅲ)当时,,故上为增函数。

时,令,则,故 ……………………11分

∴ ………12分

∴ 

   …………………13分

∴ 

即对大于的任意正整数,都有    ……………………14分

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