- 导数及其应用
- 共6208题
(本小题满分14分)做一个体积为32,高为2
的长方体纸盒.
(1)若用表示长方体底面一边的长,
表示长方体的表面积,试写出
关于
的函数关系式;
(2)当取什么值时,做一个这样的长方体纸盒用纸最少?最少用纸多少
?
正确答案
解:(1)由题意知,该长方体的底面积为,故它的底面另一边长为
.
∴. …………………6分
(2)法一:要使用纸最少,即是使长方体的表面积最小,也就是求的最小值.
∵, …………………8分
令,解得:
,
(舍去), …………………9分
当时,
;
当时,
, …………………11分
∴当在
处取得极小值,也是最小值,此时
(
).…12分
答:(1);(2)当
时用纸最少,最少用纸为
.……14分
法二:要使用纸最少,即是使长方体的表面积最小,也就是求的最小值.
∵, …………………10分
当且仅当,即
时等号成立,此时,
. …………12分
答:(1);(2)当
时用纸最少,最少用纸为
.……14分
略
已知函数的图象过点
,且在
和
上为增函数,在
上为减函数.
(I)求的解析式;
(II)求在
上的极值.
正确答案
(1)的图象过点
,
,
又由已知得是
的两个根,
故………8分
(2)由已知可得是
的极大值点,
是
的极小值点
略
已知函数.(
为常数,
)
(Ⅰ)若是函数
的一个极值点,求
的值;
(Ⅱ)求证:当时,
在
上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的,总存在
,使不等式
成立,求实数
的取值范围.
正确答案
解:.
(Ⅰ)由已知,得 且
,
,
,
.
(Ⅱ)当时,
,
,
当
时,
.又
,
,故
在
上是增函数.
(Ⅲ)时,由(Ⅱ)知,
在
上的最大值为
,
于是问题等价于:对任意的,不等式
恒成立.
记,(
)
则,
当时,
,
在区间
上递减,此时,
,
由于,
时不可能使
恒成立,故必有
,
.
若,可知
在区间
上递减,在此区间上,有
,与
恒成立矛盾,故
,这时,
,
在
上递增,恒有
,满足题设要求,
,即
,
所以,实数的取值范围为
.
略
(本小题满分14分)已知函数,在
上最小值为
,最大值为
,求
的值.
正确答案
解:由题设知且
…………………………………………1分
时,
;
或
时,
;
和
时,
由题设知,
,
,
…………3分
①时,
时,
;
时,
,
在
上单减,在
和上单增,…………………………………4分
为
的极小值点,也是最小值点;
的最大值是
………………………………………………5分
解解得
,
………………………………7分
②时,
时,
;
时,
,
在
上单增,在
和上单减,………………………………9
分
为
的极大值点,也是最大值点;…………………………………10分
的最小值是
………………………………………………11分
解解得
,
……………………………………………13分
综上,,
或
,
.………………………………………14分
略
(本小题满分14分)
已知函数有且只有两个相异实根0,2,且
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)已知各项均不为1的数列满足
,求通
,
(Ⅲ)设,求数列
的前
项和
.
正确答案
解:(Ⅰ)由得
(Ⅱ)即为
①
当 ②
①-②则,
所以
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,所以
故③
上式两边乘以得
④
③+④得
∴
略
定义在R上的函数满足
为
的导函数,已知函数
的图像如图所示,若两个正整数
,
满足
,集合
若从
中任取两个点,则两点都不在直线
上的概率为 。
正确答案
略
设函数(
),其中
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数
的极大值和极小值;
(Ⅲ)当,
时,若不等式
对任意的
恒成立,求
的值。
正确答案
解:当时,
,得
,且
,
.
所以,曲线在点
处的切线方程是
,整理得
.
(Ⅱ)解:
.
令,解得
或
.
由于,以下分两种情况讨论.
(1)若,当
变化时,
的正负如下表:
因此,函数在
处取得极小值
,且
;
函数在
处取得极大值
,且
.
(2)若,当
变化时,
的正负如下表:
因此,函数在
处取得极小值
,且
;
函数在
处取得极大值
,且
.
(Ⅲ)证明:由,得
,当
时,
,
.
由(Ⅱ)知,在
上是减函数,要使
,
只要
即 ①
设,则函数
在
上的最大值为
.
要使①式恒成立,必须,即
或
.
所以,在区间上存在
,使得
对任意的
恒成立.
略
(理)已知函数f(x)=
(I)求证: <f(
)<
(n∈N+)
(II)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围
正确答案
(理)(Ⅰ)令,
.利用导数可证
在
递增,
在
递增.从而可得结论.
(Ⅱ) ① 当时,对
,由(Ⅰ)的证明知
.
② 当时,
,不合题意.
③ 当时,今
.
则.
取.则
.易知当
时,
,
递增
,即
,不合题意.
综上知.
略
(本小题满分12分)设x=1和x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点
(1)求a,b的值
(2)求f(x)的单调区间。
正确答案
(1)、
,
,得a=-
,b=-
(2)、(x>0)
得x=1或x=2
∴单调减区间为(0,1),(2,+∞)
单调增区间为(1,2)
略
已知函数若
,则
的取值范围是
正确答案
略
函数的最小值为
正确答案
略
(本小题满分12分)
求过点作抛物线
的切线方程.
正确答案
解:设切点坐标为,
切线的斜率为
.
∵......................................................2分
......................................4分
又 ..............................
..................6分
由,解得,切点为.............................
..........8分
当切点为时,
,此时切线方程为
.....................10分
当切点为时,
,此时切线方程为
.........
...
....12分
略
在曲线上的点M处的切线倾斜角为45°,则点M坐标是___________
正确答案
略
.已知函数.
(1)若存在单调增区间,求
的取值范围;
(2)是否存在实数,使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出
的取值范围?若不存在,请说明理由。
(本题满分14分)已知函数。
(Ⅰ)若函数在
上为增函数,求正实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,求
在
上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当时,求证:对大于
的任意正整数
,都有
。
正确答案
解:(I) ……………1分
∵ 函数在
上为增函数
∴ 对
恒成立, ……………………2分
∴ 对
恒成立,即
对
恒成立
∴ ……………………4分
(II)当时,
,
∴ 当时,
,故
在
上单调递减;当
时,
,故
在
上单调递增, ………………6分
∴在区间
上有唯一极小值点,故
……7分
又
∵ ∴
∴ 在区间
上的最大值
综上可知,函数在
上的最大值是
,最小值是
。………………9分
(Ⅲ)当时,
,故
在
上为增函数。
当时,令
,则
,故
……………………11分
∴ 即
………12分
∴
∴ …………………13分
∴
即对大于的任意正整数
,都有
……………………14分
略
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