导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（12分）已知函数

（1）求曲线在点处的切线的方程；

（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标。

正确答案

(1)

(2)，

略

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题型：填空题

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填空题

函数图象上点P处的切线与直线围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于，此时点P的坐标是 .

正确答案

设P点坐标为（a，a2+1）则得到在P处的切线方程，利用定积分的方法求出梯形的面积，求出面积的最大值即可得到P的坐标．

解：设P（a，a2+1）则过P的切线方程为：y=2ax-a2+1

则S=∫01（2ax-a2-1）dx=（3x--x2）|01=-a2+a+1为二次函数，

当a=时，S有最大值，Smax=．且此时P的坐标为（，）．

故答案为，（，）

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题型：简答题

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简答题

在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).

(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.

(2)当x为何值时运费最省？

正确答案

x为15千米时运费最省

(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100－x.

∴每吨货物运费y=(100－x)·3k+·5k(元)

(2)令y′=－3k+5k··k=0

∴5x－3=0

∵x>0，∴解得x=15

当0<x<15时，y′<0;当x>15时，y′>0

∴当x=15时，y有最小值.

答：当x为15千米时运费最省 .

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题型：填空题

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填空题

已知，过点作函数图像的切线，则切线方程为（）

正确答案

或

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题型：填空题

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填空题

曲线y=x3+x﹣2的一条切线平行于直线y=4x﹣1，则切点P0的坐标为（）

正确答案

（1，0）或（﹣1，﹣4）

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线的倾斜角的大小为 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数的导函数是，

. 设是方程的两根，则||的取值范围为 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20海里处，随后货轮按照北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60°处，则货轮的航行速度为 ___海里/小时。

正确答案

里/小时；

略

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题型：简答题

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简答题

设的极小值为,其导函数的图像经过点,如图所示,

（1）求的解析式；

（2）若对都有恒成立，

求实数的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解：（1），且的图像经过点,

， ……（2分）

，

由图像可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ……（3分）

，解得 ……（5分）

……（6分）

（2）要使对都有恒成立，

只需即可。 ……（7分）

由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

且，，

……（10分）

故所求的实数的取值范围为。 ……（12分）

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题型：填空题

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填空题

自由落体运动的位移S（m）与时间t（s）的关系为S=gt2（g取10m/s2），则当t=4s时的瞬时速度为______m/s．

正确答案

∵S=gt2

∴S′=gt

当t=4s时S′=10×4=40

∴t=4s时的瞬时速度为40m/s

故答案为40

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题型：填空题

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填空题

对正整数n，设曲线y=xn（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是（）。

正确答案

2n+1﹣2

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题型：填空题

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填空题

若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

正确答案

因为y′＝2ax－，

依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.

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题型：填空题

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填空题

已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d均为常数)上．若曲线C在点A，B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.

正确答案

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由题意得y′＝3ax2＋2bx，因为k1＝k2，所以3a＋2b＝3a－2b，即b＝0.又a＋d＝1，d－a＝－3，所以d＝－1，a＝2，即a3＋b2＋d＝7.

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题型：填空题

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填空题

曲线f(x)＝·ex－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．

正确答案

y＝ex－

因为f′(x)＝·ex－f(0)＋x，故有

即原函数表达式可化为f(x)＝ex－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，

即y＝ex－.

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题型：简答题

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简答题

已知．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若求函数的单调区间；

（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

见解析

（1） ∵ ∴∴ ∴ ，又，所以切点坐标为

∴ 所求切线方程为，即.

（2）

由得或

(1)当时，由，得．

由，得或

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.

(2)当时，由，得．

由，得或

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.

综上：

当时，的单调递减区间为，

单调递增区间为和

当时，的单调递减区间为

单调递增区间为和.

（3）依题意，不等式恒成立, 等价于

在上恒成立

可得在上恒成立设, 则令，得（舍）当时，；当时，

当变化时，变化情况如下表：

∴ 当时,取得最大值, =-2

∴ 的取值范围是.

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