热门试卷

x＋ey－e2－1＝0

y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e.

∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－.

∴所求方程为y－e＝－ (x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.

（1）a=1；（2）a的取值范围为

（3）存在的图象恰有三个交点

本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根与函数的零点间的转化．还考查了计算能力和综合运用知识的能力．

（1）先求出函数的导数，再由f′（ ）=0求解a．

（2）将“f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．

（3）在（1）的条件下，a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2（x2-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x2-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．

解：（1）依题意，

…………………………3分

（2）若在区间（—2，3）内有两个不同的极值点，

则方程在区间（—2，3）内有两个不同的实根，

但a=0时，无极值点，

∴a的取值范围为

（3）在（1）的条件下，a=1，要使函数的图象恰有三个交点，等价于方程，

即方程恰有三个不同的实根。

=0是一个根，

应使方程有两个非零的不等实根，

由     存在的图象恰有三个交点。

（1）当时，递增

当时，在（0，1），递增 在（1，a-1）递减

当时，在（0，a-1）递增，递增，在（a-1，1）递减

（2）在区间（1）一定存在唯一的，使直线l与曲线也相切.

第一问中，利用f(x)=x－ax+(a－1)，求解导数，然后对于参数a分情况讨论可知函数的单调性。

第二问中，利用导数的几何意义， 切线l的方程为：

设切线l与曲线相切于

  切线l的方程又为

因为与的图象  在（1，）

有且只有一个交点

在区间（1）一定存在唯一的，使直线l与曲线也相切

解：（1）当时，递增

当时，在（0，1），递增 在（1，a-1）递减

当时，在（0，a-1）递增，递增，在（a-1，1）递减………7分

（2） 切线l的方程为：

设切线l与曲线相切于

  切线l的方程又为

………7分

与的图象  在（1，）

有且只有一个交点

在区间（1）一定存在唯一的，使直线l与曲线也相切…………………15分

（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ．

（2）当每件产品的售价为8元时，分公司一年的利润最大，的最大值为32

试题分析：（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ．       4分

（2）（ｘ）＝3（ｘ－12）（ｘ－8）,ｘ．当ｘ时，（ｘ）＞0，（ｘ）单增；

当ｘ时，（ｘ）＜0，（ｘ）单减。∴ｘ＝8时，（ｘ）最大，最大值为32.

答：当每件产品的售价为8元时，分公司一年的利润最大，的最大值为32．    8分

点评：中档题，首先构建函数模型，再利用导数研究函数的最值，从而解决实际问题。属于常见题目。当函数的驻点只有一个时，这既是极值点，也是最值点。

(1) .   (2) . (3) .

解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．

（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．

（II）求出g（x）的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程

（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．

解:(1)  ………………………1分

由题意的解集是即的两根分别是.

将或代入方程得. . …………4分

(2)由(Ⅰ)知：，，

点处的切线斜率，            

函数y=的图像在点处的切线方程为：，即.             …………7分

(3) ，   即：对上恒成立       

可得对上恒成立……9分

设,    则  

令,得(舍)

当时,;当时, ………..12

当时,取得最大值, =-2      .

的取值范围是.                ………15分

解：（1）；(2)  。

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用， 以及导数与不等式的综合运用。

（1），m =" –" 2，易知又过（2，-3）利用点斜式方程得到。

（2）要符合题意需要满足恒陈立，利用导数求解最值得到。

解：（1）易知又过（2，-3）

5分

(2) 由已知得，即 6分

又所以即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，    8分

所以解之得

又 11分

所以

即的取值范围为    12分

解：（1）

（2）设点，距离为，

当时，取得最小值，此时为所求的点。

略

解：（Ⅰ）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.

求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分

当时;;当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分

故在x=e处取得极小值，也是最小值，

即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分

（Ⅱ）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分

令g(x)=x-2lnx,则 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分

（Ⅲ）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;┉┉┉11分

若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)

单调递减区间为(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。┉14分.

略