导数及其应用
共6208题

导数及其应用
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题型：简答题

简答题

（满分14分）已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，讨论的单调性.

正确答案

（1）

（2）当时，在上单调递减，在单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增。

解：（1）当时，，则，又，则曲线在点处的切线斜率为，因此，切线方程为，即

（2），设，,则符号相同。

①若，，

当时，上单调递增；

当时，上单调递减。

②若，则，即，解得。

当时，，恒成立，即恒成立，因此在上单调递减；

当时，。可列表如下：

综上所述：当时，在上单调递减，在单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增。

题型：填空题

填空题

在四个数的两旁各加一条竖线，引进符号：，定义=，则函数在处切线的斜率为 .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

某公司有价值万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②时，；③，其中为常数，且。

（1）设，求表达式，并求的定义域；

（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入。

正确答案

（1）定义域为，为常数，且。

（2）当，投入时，附加值y最大，为万元当，投入时，附加值y最大，为万元函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。

（1）设，当时，，可得：，∴

∴定义域为，为常数，且。 ………………7分

（2）

当时，即，时，

当，即，在上为增函数

∴当时， ……………………14分

∴当，投入时，附加值y最大，为万元；

当，投入时，附加值y最大，为万元 ………15分

题型：简答题

简答题

已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；

正确答案

依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，

所以直线的方程为．

又因为直线与的图像相切，所以由

，

得（不合题意，舍去）；

题型：填空题

填空题

如图，函数F(x)=f(x)+x2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+f′(5)=（）。

正确答案

-5

题型：填空题

填空题

若曲线f（x）=x·sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

已知是定义在R上的偶函数，对任意的，都有成立，若，则

正确答案

∴ ∴ T=6

∴

题型：填空题

填空题

垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是（）

正确答案

3x+y+6=0

题型：填空题

填空题

函数y=x2 (x＞0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

已知曲线交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为 .

正确答案

-1

试题分析：求导函数，可得f′（x）=（n+1）xn，设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，

∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，可得xn=，∴x1•x2…x2011，故log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011=log2012（x1×x2×…×x2011）=

题型：填空题

填空题

曲线（其中）在处的切线方程为　．

正确答案

试题分析：函数的导数是，当时，即切点为，当时，即切线的斜率为，所以所求切线的方程为即.

题型：填空题

填空题

函数在点P（5，）处的切线方程为y=-x+8，则（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为．

正确答案

试题分析：

曲线在点处切线的方程为：.

题型：填空题

填空题

由曲线f(x)＝与轴及直线围成的图形面积为，则的值为 .

正确答案

试题分析：由已知可得:,解得.

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