- 导数及其应用
- 共6208题
（（本小题满分12分）
若函数
（1）求函数
（2）求函数
（3）设函数
正确答案
解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
∴f /(x)＝3ax2＋c，则
故f(x)＝－x3＋x；………………………………4分
（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－) ∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是
增函数，在[－，]上是减函数，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，
如图所示， 当－1＜m＜0时，
f(x)max＝f(－1)＝0；当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，
当m≥时，f(x)max＝f()＝．
故f(x)max＝．………………9分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，则0＜t≤k2，
故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2]
当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合
当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，
必须
略
设函数
正确答案
分析：对函数求导，然后结合f′（x）=2x+1，可求t，m，进而可求f（x），代入可得 
解：对函数求导可得f′（x）=mxm-1+t=2x+1
由题意可得，t=1，m=2
∴f（x）=x2+x=x（x+1）
∴
∴Sn=1-
=
曲线
正确答案
略
函数
正确答案
略
（本小题满分12分）
已知函数
（I）当
（II）当
正确答案
略
（文科）设曲线
正确答案
函数
若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则当h无限趋近于0时，
正确答案
∵函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，
∴当h无限趋近于0时，
∴当h无限趋近于0时，
故答案为：2f′（x0）．
正确答案
解：
①当
②当
当
即
略
设
(Ⅰ) 求
(Ⅱ) 令
正确答案
（I）
（II）
(Ⅰ) 当
(Ⅱ)若
∵x ＞ 0 , 得．
设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+
(1)证明： 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M。
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值。
(3)求证： 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。
正确答案
(1) 证明略(2) 当x=m时， f(2m)=log3(m+
(3)证明略
先将f(x)变形： f(x)=log3［(x－2m)2+m+
当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+
故f(x)的定义域为R。
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+
(2)解析： 设u=x2－4mx+4m2+m+
∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小。
而u=(x－2m)2+m+
显然，当x=m时，u取最小值为m+
此时f(2m)=log3(m+
(3)证明： 当m∈M时，m+
当且仅当m=2时等号成立。
∴log3(m+
函数
正确答案
已知函数f（x）=x3﹣3x，若过点A（0，16）的直线方程为y=ax+16，与曲线y=f（x）相切，则实数a的值是（ ）．
正确答案
9
在平面直角坐标系
正确答案
试题分析：令
在曲线
正确答案
已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠
正确答案
（1）3e. （2）见解析
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，
故f′(1)＝3e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2，
由a≠
以下分两种情况讨论：
①若a>
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.
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