导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数为________．

正确答案

2

设函数f(x)的“中值点”为x0，则f′(x0)＝＝＝1，即3x02－3＝1，解得x0＝±＝±∈[－2,2]，故函数y＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数是2．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

已知函数，其中是常数.

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.

正确答案

(18)（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由可得

. ………………………………………2分

当时, ,. ………………………………………4分

所以曲线在点处的切线方程为，

即. ………………………………………5分

（Ⅱ）令，

解得或. …………………………………6分

当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.

所以方程在上不可能有两个不相等的实数根.

………………………………………8分

当，即时，随的变化情况如下表

由上表可知函数在上的最小值为.

………………………………………10分

因为函数是上的减函数，是上的增函数，

且当时，有. ………………………………………11分

所以要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是

. ………………………………13分

略

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题型：简答题

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简答题

（ 12分）设函数．

（1）写出定义域及的解析式；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围．

正确答案

解：（1）的定义域为．

（2）①当时，，所以上为增函数；

②当，由，

上为增函数，在上是减函数．

（3）①当时，由（1）知，对任意，恒有；

②当时，由（1）知，上是减函数，在上是增函数，取

，则；

③当时，对任意，恒有且，得．

综上，当且仅当时，若对任意恒有成立．

略

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题型：填空题

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填空题

已知直线与函数的图象相切，则切点坐标为。

正确答案

(1,e)

略

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题型：填空题

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填空题

f'（x0）=2，求的值______．

正确答案

=(-)=-f'（x0）=-1

故答案为：-1

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题型：填空题

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填空题

已知直线y=ex与函数f（x）=ex的图象相切，则切点坐标为（）．

正确答案

（1，e）

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题型：填空题

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填空题

曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为（）。

正确答案

y=4x-3

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题型：填空题

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填空题

函数在点（0，1）处的切线方程是（）。

正确答案

3x-y+1=0

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题型：简答题

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简答题

已知函数（）。

（1）若，求证：在上是增函数；

（2）求在上的最小值。

正确答案

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）求导数，证明当时，.

（2）应用导数研究函数的最值，往往通过“求导数，求驻点，确定极值，计算区间端点函数值，比较大小”等，使问题得解.本题含有参数，因此，要注意根据导数的正负零情况，加以讨论.

试题解析：（1）时，

，当时，

故在上是增函数。

（2），

①当时，因为，所以，，在上单调递增，故；

②当时，由得，，单调递减，，单调递增，故；

③当时，∵∴，则在上单调递减，

故

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题型：简答题

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简答题

（本小题共14分）

已知函数

（1）试用含有a的式子表示b，并求的单调区间；

（2）设函数的最大值为，试证明不等式：

（3）首先阅读材料：对于函数图像上的任意两点，如果在函数图象上存在点，使得在点M处的切线，则称AB存在“相依切线”特别地，当时，则称AB存在“中值相依切线”。

请问在函数的图象上是否存在两点，使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

设P为曲线C：f(x)＝x2－x＋1上的点，曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P的纵坐标的取值范围是________．

正确答案

设P(x0，y0)，则f′(x)＝2x－1.

∴－1≤2x0－1≤3，即0≤x0≤2.

∵y0＝f(x0)＝－x0＋1＝2＋，

∵x0∈[0,2]，∴≤y0≤3，

故点P的纵坐标的取值范围是.

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题型：填空题

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填空题

若函数为奇函数，其图象的一条切线方程为，则b的值为．

正确答案

-3

试题分析：由奇函数的定义，易得，对函数求导可得：，可设切点，则有，可解得.

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=x3+f′x2-x,则函数f(x)的图象在处的切线方程是　　　　　　　.

正确答案

27x+27y+4=0

因为f′(x)=3x2+2f′x-1,

所以f′=3×2+2f′×-1

得f′=-1,

f=3+f′×2-

=f′-

=-,

则函数f(x)的图象在处的切线方程为

y+=-（x-）,即27x+27y+4=0.

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题型：简答题

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简答题

在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d（米）与车

速v（千米/小时）需遵循的关系是（其中a（米）是车身长,a为常量）,同时

规定．

（1）当时，求机动车车速的变化范围；

（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大．

正确答案

（1）0（2）当v=50时Q最大为

(1)由题意可得av2,, .

(2)当时, Q=, Q是v的一次函数,显然是增函数，最大值易定.

当时,,可以利用均值不等式求最大值.

解：（1） =av2, v=25, ∴ 0,…………6分

（2）当v≤25时, Q=, Q是v的一次函数，v=25，Q最大为，

当v>25时, Q=≤,

∴当v=50时Q最大为．………12分

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题型：简答题

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简答题

如图，要建一间体积为，墙高为的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？

正确答案

解：设仓库地面的长为，宽为，则有，

所以． ………………… 2分

则仓库屋顶的面积为，墙壁的面积为．

所以仓库的总造价，………………… 5分

将代入上式，整理得． …… 7分

因为，

所以，……… 10分

且当，即时，W取得最小值36500．

此时． ……………………… 12分

答：当仓库地面的长为，宽为时，仓库的总造价最低，最低造价为36500元. ………… 13分

本试题主要是考查了导数在研究实际问题中的最值的运用。

先列数表达式，然后得到总造价，将仓库地面的长为，宽为，则有，

所以．代入上式中可知w关于x的函数关系式，借助于导数求解最值。

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