导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

已知函数

（I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）求函数的单调区间；

正确答案

(1) a="1"

(2) 当时，即上是增函数.

当当单调递增；

当单调递减

试题分析：解：（I）函数，

又曲线处的切线与直线垂直，

所以即a=1.

（II）由于

当时，对于在定义域上恒成立，

即上是增函数.

当

当单调递增；

当单调递减.

点评：解决的关键是能利用导数的几何意义求解切线方程，以及结合导数的符号求解单调性，属于基础题。

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题型：填空题

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填空题

已知＞0），其中r是区间（0，1）上的常数，则的单调增区间为。

正确答案

（1，+）。

因为＞0），其中r是区间（0，1）上的常数，那么可知，令f’(x)>0,可知其增区间为（1，+）。

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题型：简答题

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简答题

（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值

正确答案

（1）（2）

（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：

．

（2）

．

令得或（不合题意，舍去）．

，．

在两侧的值由正变负．

所以（1）当即时，

．

（2）当即时，

，

所以

答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．

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题型：简答题

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简答题

设，为常数）．当时，，且为上的奇函数．

⑴ 若，且的最小值为，求的表达式；

⑵ 在 ⑴ 的条件下，在上是单调函数，求的取值范围．

正确答案

（1）

（2）或

(1) 由得，

∴

若则无最小值.∴.

欲使取最小值为0，只能使，解得，.

∴

得则，∴

又，∴

又 ∴

(2)，.

得，则，.

∴当,或或时,为单调函数.

综上,或.

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题型：填空题

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填空题

一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后ts内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2m，则列车刹车后________s车停下来，期间列车前进了________m.

正确答案

30，405

S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(s)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．

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题型：填空题

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填空题

曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．

正确答案

7

＝Δx＋7，

当Δx→0时，Δx＋7→7，

所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.

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题型：填空题

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填空题

已知函数和在的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根

③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根

其中正确的命题是　　　　　　　　．（将所有正确的命题序号填在横线上）.

正确答案

①③④

试题分析：由图象可得.

①满足的有两个，一个值处于-2与-1之间，另一个值处于0与1之间，由图象可知，满足值为该两值的有1+3=4个点，因此该方程有且仅有4个根．故①正确．

②由于满足方程的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0，一个，一个．而当对应了3个不同的x值；当时，只对应一个x值；当时，也只对应一个x值．故满足方程的值共有5个，故②正确．

③由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值，故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故③正确．

④由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值，故满足方程的值有4个，即方程有且仅有4个根，故④不正确.

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题型：填空题

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填空题

若曲线在点处的切线平行于轴,则

正确答案

-1

试题分析：求导得，，当x=1时，，即，得 .

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题型：简答题

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简答题

已知函数为大于零的常数。

（1）若函数内调递增，求a的取值范围；

（2）求函数在区间[1，2]上的最小值。

正确答案

（1），（2）①当

②当时，

③当

试题分析： 2分

（1）由已知，得上恒成立， 3分

即上恒成立, 又当 5分

6分

（2）①当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为增函数

8分

②当在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为减函数

10分

③当时，令

又

12分

综上，在[1，2]上的最小值为

①当

②当时，

③当 13分

点评：对于此类问题要把函数的单调性特征与导数两个知识加以有机会组合．特别，在研究函数的单调区间或决断函数的单调性时，三个基本步骤不可省，一定要在定义域内加以求解单调区间或判断单调性

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题型：简答题

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简答题

（12分）已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对于都有成立，试求的取值范围；

（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

正确答案

（1）的单调增区间是,单调减区间是（2）

（3）

试题分析：(1)由题意知直线的斜率为1.

函数的定义域为，，

所以，所以.

所以， .

由解得；由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是. ……4分

(2)，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以当时，函数取得最小值，.

因为对于都有成立，所以即可.

则. 由解得.

所以的范围是 ……8分

(3)依题得，则.

由解得；由解得.

所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.所以的取值范围是 ……12分

点评：导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具，研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域，在定义域范围内求解；第（3）问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.

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题型：填空题

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填空题

已知函数的导函数为，且满足，则　　

正确答案

6

试题分析：因为，函数的导函数为，且满足，

所以，，，

即。

点评：简单题，注意理解是常数，先确定。

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的

年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（（为

常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的

固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格

定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

(Ⅰ) 将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；

(Ⅱ) 该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

正确答案

解：（1）由题意可知当

……3分

每件产品的销售价格为……………………………4分

2009年的利润

………………… 7分

（2），……………………10分

（万元）12分

答：（略）…………………………………………13分

略

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题型：填空题

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填空题

过曲线上一点的切线方程是___________________。

正确答案

5x-y-2=0

因为过曲线，那么利用点斜式方程可知，在这一点的切线方程是5x-y-2=0

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题型：简答题

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简答题

已知函数是定义在上的奇函数，其图象过点和

点．

（Ⅰ）求函数的解析式，并求的单调区间；

（Ⅱ）设，当实数如何取值时，关于的方程有且只有一个实

数根？

正确答案

解（Ⅰ）由题意得，解得

故解析式为 ………………………………3分

的单调递增区间为，；

单调递减区间为

……………………………6分

（Ⅱ）方程有且仅有一个实根即方程有且仅有一个实根，

等价于函数与的图象有且仅有一个交点．

由（Ⅰ）知当时，有极大值；

当时，有极小值． ……………………………………………9分

故只需或，即或时，函数与的图象有且仅有一个交点．

当或时，关于方程有且仅有一个实根． ………12分

略

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题型：简答题

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简答题

（本大题共分12分）

已知曲线所围成图形的面积为.

(1)求.

(2)求所围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积。

正确答案

解：（1）

（2）

略

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