导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数，当时，取得极大值；当时，取得极小值．

求、、的值;

求在处的切线方程．

正确答案

（1），

（2）

试题分析：解，

由题意知，和是方程的两个实数根

，解得：

，所以。

由（1）可知，

所以，

在处的切线方程为

点评：主要是考查了导数的几何意义来求解切线方程以及导数的计算，属于基础题。

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题型：填空题

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填空题

设函数在区间（）的导函数，在区间（）的导函数，若在区间（）上恒成立，则称函数在区间（）为凸函数，已知若当实数满足时，函数在上为凸函数，则最大值是_________.

正确答案

4

试题分析：

设与x轴交点为

最大值为4

点评：求解本题首先要根据题目中给定的凸函数的定义将函数二次求导，求得其单调区间且满足是减区间的子区间

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题型：填空题

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填空题

若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是 .

正确答案

试题分析：解：令得x=-2或x=1

x∈（-∞，-2）时的符号与x∈（-2，1）时的符号相反，x∈（-2，1）时的符号与x∈（1，+∞）时的符号相反

∴f（-2）=和为极值，f（1）=

∵图象经过四个象限

∴f（-2）•f（1）＜0即

解得.

点评：本题考查导数求函数的极值，研究函数的单调性及其图象,属中档题.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设函数.

(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；

(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.

正确答案

(1) (2).

试题分析：解：(1),.

法一：在恒成立在恒成立.…………………3分

由在的最小值为，

所以,得，即的最大值为. …………………………………………………6分

法二：令，.

要使在恒成立，则只需在恒成立.

由于的对称轴为,当时，，

解得，所以的最大值为.……………………………………………………6分

(2)因为当时, ；当时, ；当时,；

即在和单增，在单减.

所以，.………………………………9分

故当或时,方程仅有一个实根.

得或时，方程仅有一个实根.

所以.………………………………………………………………12分

点评：根据导数不等式恒成立，来分析函数的最值来得到结论，同时对于方程根的问题，转化为图像与坐标轴的交点情况来说明即可，属于中档题。

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；

（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求的取值范围．

正确答案

(1) (2)

试题分析：解：（Ⅰ），

由，可得． ……………………4分

（Ⅱ）函数的定义域是，

因为，所以． ……………………5分

所以……………………7分

要使在上是单调函数，只要或在上恒成立．

当时，恒成立，所以在上是单调函数；

当时，令，得，，

此时在上不是单调函数；

当时，要使在上是单调函数，只要，即

综上所述，的取值范围是． ……………………12分

点评：导数做为一种工具，出现在函数中，主要处理一些关于函数单调性的问题，以及函数的最值和极值问题的运用。那么要明确，导数值为零是函数值在该点取得极值的必要不充分条件。属于难度试题。

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题型：简答题

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简答题

设函数.

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）若当时，求实数的取值范围.

正确答案

（Ⅰ）1（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）时，，.

当时，；当时，.

所以在上单调减小，在上单调增加

故的最小值为

（Ⅱ），

当时，，所以在上递增，

而，所以，所以在上递增，

而，于是当时， .

当时，由得

当时，，所以在上递减，

而，于是当时，，所以在上递减，

而，所以当时，.

综上得的取值范围为.

点评：本题第二问用到了对函数导函数的再次求导，从而确定导函数的单调区间，导函数的最值导数值的范围，进而得到原函数的单调性，难度较大

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题型：填空题

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填空题

若存在过点的直线与曲线和都相切，则

正确答案

或

解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y- x03=3x02（x-x0），（1，0）代入方程得x0=0或x0="3" /2①当x0=0时，切线方程为y=0，则ax2+15 /4 x-9=0，△="(15/" 4 )2-4a×(-9)=0⇒a="-25/" 64

②当x0="3" 2 时，切线方程为y="27/" 4 x-27/ 4 ，由 y=ax2+15 /4 x-9 y="27" /4 x-27/ 4 ⇒ax2-3x-9 /4 =0，△="32-4a(-9/" 4 )=0⇒a=-1∴a="-25/" 64 或a=-1．

故答案为：-25 /64 或-1

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题型：填空题

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填空题

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．则函数的解析式为__________。

正确答案

解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，

即4b+c+3=0．①

f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．

得8b+c+7=0．②

联立①、②，解得c=1，b=-1，

于是函数解析式为f（x）=x3-2x2+x-2．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）设函数在两个极值点，且（1）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；

(2)证明：

正确答案

解：由题意知方程有两个根

则有

故有

图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II) 由题意有①

又②

消去可得，令，，，由（１）可得，故，即在上单递减

，即，

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程是 .

正确答案

或

试题分析：,，当时，，故曲线在点处的切线方程是，即或.

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题型：简答题

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简答题

（说明:第二问能用f(x)表达即可,不必算出最结果.）

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，

则是______

正确答案

，在处的切线斜率为

。X-2时，，所以在处的切线方程为：

。令x=0得：

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题型：简答题

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简答题

（8分）若f（x）=ax3+bx2，且f（x）在点P（－1,-2）处的切线恰好与直线3x－y=0垂直。（1）求a,b的值；（2）若f（x）在区间[0,m]上单调，求m的取值范围。

正确答案

解：a="-1,b=-3, " [-2,0)

略

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题型：填空题

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填空题

函数在点处的切线方程是　

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

函数在上存在单调递增区间的充要条件是

正确答案

略

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