热门试卷

(Ⅰ)a=3,b=-12  (Ⅱ)

(Ⅰ)利用二次函数的对称轴及导数列关于a，b的方程，求出a,b；(Ⅱ)利用求极值的步骤求出函数极值。

(Ⅰ)，………… 1分

所以 函数的图象关于直线对称，………… 2分

所以，  ………… 4分

又； ………… 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)，  ………… 7分

令；                   ………………8分

函数在上递增，在上递减，在上递增，…………10分

所以函数在处取得极大值，在处取得极大值

解：（1）f′(1)＝2，且P(1,0)，∴f(x)在P点处的切线方程为y＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0…………………………………………………………………………（2分）

又g′(1)＝a＋3，∴a＝－1.…………………………………………………………（3分）

故g(x)＝－x2＋3x，则方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k可化为

ln(x2＋1)－x2＝k.令y1＝ln(x2＋1)－x2，则＝－x＝－

令＝0得x＝－1,0,1.因此及y的变化情况如下表：

x

(－∞,－1)

－1

(－1,0)

0

(0,1)

1

(1,＋∞)

＋

0

－

0

＋

0

－

y

极大值

极小值

极大值

且(y1)极大值＝ln2－，(y1)极小值＝0.……………………………………………………（6分）

又∵方程有四个不同实数根，函数y＝ln(x2＋1)－x2为偶函数，且当x2＋1＝e3(x＝＞1)时，ln(x2＋1)－x2＝3－(e3－1)＝－e3＜0＝(y1)极小值，所以0＜k＜ln2－.……………………………………………………………………………………………（8分）

（2）∵F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.

∴F(x)＝(a－3)x2－(a＋3)x－1.………………………………………………………（9分）

①当a＝3时，F(x)＝－6x－1在(0,1］上是减函数，可知F(x)取不到最大值.

②当a＜3时，F(x)的对称轴为x＝，若x∈(0,1］时，F(x)取得最大值.则＞0解得a＜－3或a＞3，从而a＜－3.

③当a＞3时，若x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，则＜时，此时a∈.

综上所述，存在实数a∈(－∞,－3)，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值.……（13分）

略

（1）f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)当x＝－2时，f(x)有极大值21；当x＝2时，f(x)有极小值-11.

（2）  

试题分析：解：(1)f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.           2分

因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．      3分

当x＝－2时，f(x)有极大值21；当x＝2时，f(x)有极小值-11.      2分

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向，当-11<a<21时，直线y＝a与y＝f(x)的

图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．            2分

点评：主要是考查了导数在研究函数中单调性和极值的运用，属于基础题。

（1）的单调递增区间为.（2）.

（3）是一个类对称点的横坐标.

试题分析：（1）由f′(x)="2x-(a+2)+" ==

，能求出当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间．

（2）a=4，f′（x）=2x+-6，故f′(x)="2x+" -6≥4-6，不存在6x+y+m=0这类直线的切线．

（3）y=g(x)=(2x0+ -6)(x-x0)+ -6x0+4lnx0，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标．

解：（1）由可知，函数的定义域为，

且.

因为，所以.

当或时，；当时，，

所以的单调递增区间为.

（2）当时，.

所以，当变化时，，的变化情况如下：

所以，

.

函数的图象大致如下：

所以若函数有三个不同的零点，.

（3）由题意,当时，，则在点P处切线的斜率；所以

.

令，

则，.

当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；

当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；所以在上不存在“类对称点”.

当时，，所以在上是增函数，故

所以是一个类对称点的横坐标.

点评：解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数性质的灵活运用.

解：由题可知函数的定义域为

(1)当时，，

令，得或，由定义域得

当时，当时，是极小值点

            ………………………………5分

（2），

令，方程。

当时，，恒成立。又由定义域得

即时

所以函数在定义域内为增函数。 ……………………………10分

略

（1）当时，，                      ………2分

由题意得：，即，                         ………4分

解得：。                                                    ………6分

（2）由（1）知：

①当时，，

解得；解得或

∴在和上单减，在上单增，

由得：或，                          ………7分

∵　，

∴在上的最大值为。                                     

②当时，，

当时，；当时，在单调递增；

∴在上的最大值为。                                      --……9分

∴当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为。                         …………11分

（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。

∵是以为直角顶点的直角三角形

∴，即（*）                          ……13分

是否存在等价于方程（*）是否有解。

①若，则，代入方程（*）得：，

即：，而此方程无实数解，从而，                    

∴，代入方程（*）得：，

即：，                                                

设，则在恒成立，

∴在上单调递增，从而，则的值域为。

∴当时，方程有解，即方程（*）有解。

∴对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，

使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴

略

设计划期内生产甲x件，生产乙y件，

则    即

目标函数z=2x+3y，作直线2x+3y=t

如图所示，可见当直线2x+3y=t过A点时，它在y轴上的截距最大，从而t最大．

显然A点坐标为（4，2）．

∴当x=4，y=2时，可获得最大利润14元．

线性规划问题的求解过程，实质是数形结合的应用过程．