热门试卷

（1）当时最小值，当时最小值（2）3（3）

试题分析：（1）令，得，①当时，函数在上单调递减，在上单调递增。此时最小值为；②当时，函数在上单调递增，此时最小值为。

（2）在上有且仅有仅有一个根，即在上有且仅有仅有一个根，令，则，上递增，所以。

（3），由题意知有两个不同的实数根，等价于有两个不同的实数根，等价于直线与函数的图像有两个不同的交点。

，所以当时，存在，且的值随着的增大而增大。

而当时，则有，两式相减得代入，解得此时，所以实数的取值范围为

点评：第一小题求最值需对参数分情况讨论从而确定最值点的位置，第二小题将方程的根的情况转化为函数最值得判定，这种转化方法包括将不等式恒成立问题转化为函数最值问题都是函数题目中经常用到的思路，须加以重视

解：（1）当时，,

设，则

由，则，，

所以，可知在上是增函数，

最小值为

（2）在区间上，恒成立等价于恒成立

设，，则

可知其在上为增函数，

当时， 故

略

(I) 当时,函数的递增区间是,递减区间是

当时，函数的递增区间是和，递减区间是

(Ⅱ) 函数不是“中值平衡函数”

试题分析：（1）

当即时，，函数在定义域上是增函数；

当即时,由得到或，

所以：当时，函数的递增区间是和，递减区间是；

当即时，由得到：，

所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是；       

（2）若函数是“中值平衡函数”，则存在（）使得

即，

即，（*）

当时，（*）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；

当时，设，则方程在区间上有解，

记函数，则，

所以当时，，即方程在区间上无解，

即函数不是“中值平衡函数”.

点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．

试题分析：由题意可知，

函数的图象与坐标轴的交点为，的图象与坐标轴的交点为，

又因为函数和的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，

所以，即，

又因为，所以，

所以

所以函数和的图象在其与坐标轴的交点处的切线分别为：，

根据两平行线间的距离公式可知，两平行线间的距离为.

点评：本小题主要考查导数的应用，研究切线上某点处的切线方程时，要分清是某点处的切线还是过某点的切线，两者是不同的.

（1）；

（2）不存在使过点与原点的直线斜率。

试题分析：（1）因为                 (1分)

所以， 恒成立。因此 （3分）

在

因此 （5分）

（2）由（1）可知，在存在极小值.

∴,由条件

∴               (7分)

（注：此处也可以用换元法，转证t-lnt=0（t=a/3）无解。采分相同）

设（）                   (8分)

时，且当时，递减；

当时，递增；              (10分)

在处取得最小值，；无零点.

即无解，

所以不存在使过点与原点的直线斜率     （12分）

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）通过研究函数的极值情况，确定得到含a的方程，通过研究方程解的有无，明确a的存在性。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。

令则在上是增函数。

故即。

（2）原不等式等价于。

令则。

令得列表如下（略）

当时，。

令则解得或。

略

解：（1）则题意，；∵，

∴，又，解得；

（2）由上题得，；

当得x=0或x=1，当得0得x<0或x>1；

∴函数有极小值。

略

解：．①····················································· 2分

（Ⅰ）当时，；

由题意知为方程的两根，所以．

由，得．········································································· 4分

从而，．

当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增．····························· 6分

（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，

所以．从而，

由上式及题设知．······································································· 8分

考虑，．………………………10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．所以，即的取值范围

略