导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题12分）

设函数

（1）求曲线在点处的切线方程。

（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。

正确答案

略

1

题型：填空题

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填空题

直线与曲线相切于点A（－1，1），则切线的方程是

正确答案

略

1

题型：填空题

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填空题

对于大于1的自然数的次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记的“分裂”中的最小数为，而的“分裂”中最大的数是，则 .

正确答案

30

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．

正确答案

所以在区间的最大值为．

略

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题型：简答题

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简答题

已知向量a，b且a，b满足|ka+b |=|a-kb|，

(1)求a与b的数量积用k表示的解析式；

(2) a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值；

(3)求向量a与向量b的夹角的最大值。

正确答案

解：(1)由题，且，所以，

化简可得，

； …………………………………………4分

(2)若则，而无解，因此和不可能垂直；

若则即，解得，

综上，和不可能垂直；当和平行时，；……………………8分

(3)设与夹角为，则=

因此，当且仅当即k=1时，有最小值为，

此时，向量与的夹角有最大值为。………………………………12分

略

1

题型：填空题

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填空题

函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问:该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

正确答案

解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，

高（m）… 2分

故长方体的体积 ………4分

从而，令，解得（舍去）或

当时，，是增函数；

当时，，是减函数……10分

故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。………12分

从而最大体积为=3立方米，此时长方体的长为2m、宽为1m，高为1.5 m。…13分

略

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题型：简答题

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简答题

本小题满分13分）

已知函数=处的切线平行于直线,试求函数的极值。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

函数在处的切线方程为 .

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

设函数（其中）的图象在处的切线与直线平行.

（1）求的值；

（2）求函数在区间[0,1]的最小值；

（3）若,, ,且,试根据上述（1）、（2）的结论证明:.

正确答案

（1）m=－1 （2）（3）略

（1）因为, 所以 …2分

解得m=－1或m=－7（舍）,即m=－1 …3分

（2）由,解得 ……………4分

列表如下:

所以函数在区间[0,1]的最小值为…7分

（3）因为

由（2）知,当x∈[0,1]时, ,所以,

所以 …9分

当,,,且时, ,,,

所以

…10分

又因为

,

所以 …11分

故（当且仅当时取等号） …12分

1

题型：填空题

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填空题

已知曲线的一条切线的斜率为，则切线方程为．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题14分）设，．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）如果存在，使得成立，

求满足上述条件的最大整数；

（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

正确答案

（本小题14分）

（1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为；（4分）

（2）存在，使得成立

等价于：，

考察，，

由上表可知：，

，

所以满足条件的最大整数；（8分）

（3）对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

由（2）知，在区间上，的最大值为。

，下证当时，在区间上，函数恒成立。

当且时，，

记，，。

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即，所以当且时，成立，

即对任意，都有。（14分）

（3）另解：当时，恒成立

等价于恒成立，

记，，。

记，，由于，

, 所以在上递减，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以。（14分）

略

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题型：简答题

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简答题

已知，求的范围．

正确答案

，于是

即，．

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题型：简答题

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简答题

学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，，；其中为每吨煤的价格（单位：元），为每百度电的价格（单位：元），如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水.

（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；

（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧水时每吨煤的最高价格是多少？

正确答案

（1）（2）153

（1）由题意，得，

则

（2）由，

当

答：每吨煤的最高价为153元.

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题型：简答题

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简答题

设,其中如果在∈(－∞,1]时有意义,

求的取值范围.

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