导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知函数的定义域为R，为的导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为

正确答案

（－2，3）

试题分析：由图可知：函数在单调递增，因此当时，；函数在单调递减，因此当时，，综上不等式的解集为（－2，3）.

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题型：简答题

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简答题

若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值

正确答案

或．

试题分析：已知点不知曲线上，容易求出过点的直线与曲线相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为、，解出的值．

试题解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为，

即，又在切线上，则或，

当时，由与相切可得，

当时，由与相切可得．

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题型：填空题

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填空题

设函数在其图像上任意一点处的切线方程为，且,则不等式的解集为．

正确答案

试题分析：由题意，可得函数的导函数为，故，因为，所以，故，解得或且，故不等式的解集为．

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题型：填空题

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填空题

曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .

正确答案

试题分析：∵，∴，所以切线方程为：，

∴三角形面积为.

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题型：简答题

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简答题

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)

（1）设，求证：当时，；

（2）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实

数a的值；如果不存在，请说明理

正确答案

（Ⅰ）略（Ⅱ）存在实数，使得当时，有最小值３

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

(1)中根据函数的奇函数的性质得到分段函数的解析式，然后当a=-1时，得到解析式，运用导数的思想来分析单调性得到最小值的问题。

（2）根据已知中假设存在最值，利用导数的符号与函数单调性的关系对于参数a分类讨论得到结论

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题型：填空题

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填空题

曲线C:在处的切线方程为______．

正确答案

,,

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题型：填空题

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填空题

函数在处的导数= .

正确答案

.

试题分析：由积的导数，∵，

∴，∴.

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题型：简答题

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简答题

甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．

(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？

正确答案

（1）t0＝2（2）S＝20(元/吨)时，获得最大净收入

(1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为w＝2 000－St.

w′＝－S＝，

令w′＝0，得t＝t0＝2.

当t＜t0时，w′＞0；

当t＞t0时，w′＜0，所以t＝t0时，w取得最大值．

因此乙方取得最大利润的年产量t0＝2(吨)．

(2)设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2，将t＝2代入上式，得到甲方净收入

v与赔付价格S之间的函数关系式．v＝－.

又v′＝－＋＝，

令v′＝0，得S＝20.

当S＜20时，v′＞0；

当S＞20时，v′＜0，所以S＝20时，v取得最大值．

因此甲方向乙方要求的赔付价格S＝20(元/吨)时，获得最大净收入．

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题型：填空题

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填空题

函数处的切线方程是 .

正确答案

试题分析：∵，∴，∴在x=1处的切线斜率k=，∴函数处的切线方程是

点评：掌握导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键，属基础题

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程是。

正确答案

4x—y—1=0

解：y′=3x2+1

令x=1得切线斜率4

所以切线方程为y-3=4（x-1）

即4x-y-1=0

故答案为4x-y-1=0

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题型：填空题

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填空题

已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________.

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题15分）

已知函数有极值．

（1）求的取值范围；

（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围．

正确答案

解：（1）∵，∴，

要使有极值，则方程有两个实数解，

从而△＝，∴．

（2）∵在处取得极值，

∴，

∴．

∴，

∵，

∴当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减．

∴时，在处取得最大值，

∵时，恒成立，

∴，即，

∴或，即的取值范围是．

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(t)=

（1）求f(t)的值域G；

（2）若对于G内的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

正确答案

解：(1)∵t>0, ∴当且仅当t=1时，取等号，∴f(t)≥，………（2分）

设时，所以f(t)

在t∈[]上是单调递减的，同理可证f(t) 在t∈[]上是单调递增的………（4分）

又，即≤f(t)≤1

∴f(t)的值域G为［］ ………………………………………………………（6分）

(2)由题知在x∈［］上恒成立

在x∈［］上恒成立.…………………………………（7分）

当x∈［］时 . ………………………………………（9分）

解得m≥或m≤ …………………………………………………（11分）

实数m的取值范围是(-∞，]∪[，+∞).……………………………（12分）

略

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题型：填空题

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填空题

若，则= ___________．

正确答案

-

略

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题型：简答题

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简答题

（本题6分）已知函数。

（1）求在处的切线方程；

（2）求该切线与坐标轴所围成的三角形面积。

正确答案

（1）

（2）

（1）依题意得，

（2）当x=0时，y=2；当；当y=0时，x=

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