导数及其应用
共6208题

导数及其应用
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题型：填空题

填空题

函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b在点x＝1处的切线与直线y＝2x＋1垂直，则a＝________．

正确答案

－

由题意可知该函数在点x＝1处的切线的斜率为k＝－，f′(x)＝3x2－2x＋a，所以f′(1)＝3×12－2×1＋a＝－，a＝－.

题型：填空题

填空题

已知曲线存在垂直于轴的切线，函数在上单调递增，则的范围为．

正确答案

解：因为曲线存在垂直于轴的切线，说明导数可以为零，函数在上单调递增，说明导数恒大于等于零，得参数a的范围为

题型：填空题

填空题

已知，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为1，则的值为___________。

正确答案

-2

∵ ∴

∴直线的方程是即

∵直线与的图象都相切,

∴方程组只有一解

∴方程有两个相等的实数

∴其判别式 ∴

∵ ∴

题型：简答题

简答题

．若，则，，的大小关系是（）

正确答案

略

题型：填空题

填空题

曲线在点处的切线与直线垂直，则直线的斜率为_____ ；

正确答案

试题分析：因为，，所以，，切线的斜率为2，故直线的斜率为。

点评：小综合题，切线的斜率等于在切点的导函数值。两直线垂直，斜率乘积为-1，或一直线斜率不存在，另一直线的斜率为0.

题型：填空题

填空题

某几何体的三视图如图所示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为．

正确答案

解：由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为r，高为h，

则4r+2h=6⇒2r+h=3，V=πr2h≤π(=π（当r=h时“=”成立）

或V=πr2h=πr2（3-2r），V'=π[2r（3-2r）-2r2]=6πr（1-r），

令V'=0得r=1，当r∈（0，1）时，V'＞0，

当r∈（1，+∞）时，V'＜0，

故当r=1时，V有最大值，Vmax=π。

题型：填空题

填空题

设是函数 ,b=

正确答案

-3， -24

因为所以得

题型：简答题

简答题

（本小题10分）

已知且求的值

正确答案

解：由得，又。由得

得

略

题型：填空题

填空题

设函数，则=" "

正确答案

3x-1

略

题型：简答题

简答题

已知函数有三个零点，且．

　（１）求实数的取值范围；

（２）记，求函数的值域．

正确答案

（1）（2）函数的值域为

（１）．

（２）分三种情况讨论，结合根的分布求出函数

所以函数的值域为．

题型：简答题

简答题

用总长的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另以一边长多那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.

正确答案

当高为时, 长方体容器的容积最大，最大容积为

设该容器低面矩形边长为,则另一边长为，此容器的高为，

于是，此容器的容积为：，其中

由，得，（舍去）

因为，在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减；

所以，当时，函数有最大值

即当高为时, 长方体容器的容积最大，最大容积为.

题型：简答题

简答题

已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，．

(1) 求函数式；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）若对，都有，求实数的取值范围．

正确答案

（1）

（1）当时，由得，；（且）

当时，由.得 ∴ （2）函数的单调减区间为（－1，０）和（０，1）

（3）

（2）当且时，由<0,解得，

当时，

∴函数的单调减区间为（－1，０）和（０，1）

（3）对，都有即，也就是对恒成立，

由（2）知当时，

∴函数在和都单调递增又，

当时，∴当时，

同理可得，当时，有，

综上所述得，对，取得最大值2；

∴实数的取值范围为.

题型：填空题

填空题

设曲线在点处的切线与垂直，则 .

正确答案

求函数在x=0处的导数为2

题型：填空题

填空题

曲线与y轴交点处切线的倾斜角大小为 .

正确答案

试题分析：因为曲线与y轴的交点为（0,2），，所以曲线在点（0,2）处的切线的斜率，所以所求切线倾斜角大小为.

题型：填空题

填空题

在曲线处的切线方程为。

正确答案

试题分析：∵,过点（1,0），∴切线方程为.

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