热门试卷

(Ⅰ)y=  (Ⅱ)   略

      （1）y =

=．…………6分

（2）当时，y≥

当且仅当，即x =时取等号

即当x =时，；……………9分

当时，，故y = f (x)在(0，20]上是减函数，

故当x = 20时，="153" + 180a．……12分

答：若，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；若时，则当车队速度为m/s时，通过隧道所用时间最少．……13分

（Ⅰ）曲线在点处的切线方程。

（Ⅱ）函数的递增区间为，递减区间为。

（Ⅲ）的取值范围是.

试题分析：（Ⅰ）当时，           1分

                            .2分

所以曲线在点处的切线方程            3分

（Ⅱ）     4分

当时，解，得，解，得

所以函数的递增区间为，递减区间为在            5分

时，令得或

ⅰ）当时，

        6分

函数的递增区间为，，递减区间为        7分

ⅱ）当时， 

在上，在上                      8分

函数的递增区间为，递减区间为                9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，

所以，                                     11分

存在，使       即存在，使，

方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于 

所以有      即解得：        13分

方法二：将 整理得 

从而有所以的取值范围是.              13分

点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。曲线切线的斜率，等于函数在切点处的导函数值。在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。对数函数要注意其真数大于0.

（1）（2）（3）对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

试题分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

∵，，，

即最大值为，．                  4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，，

恒成立，即．

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，，．            8分

（3）由条件，，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，

不妨设，则，且．

是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

， ，              10分

是否存在等价于方程在且时是否有解．

①若时，方程为，化简得，

此方程无解；                            11分

②若时，方程为，即，

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，

当时，方程总有解．

对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．      14分

点评：求函数最值通过函数导数求得极值，比较极值与闭区间的边界值的大小得最值，不等式恒成立中求参数范围的题目常采用分离参数法转化为求函数最值的问题

（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.

试题解析：（Ⅰ），

由条件知，故则                 3分

于是.

故当时，；当时，。

从而在上单调递减，在上单调递增. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增，

故在上的最大值为 最小值为      10分

从而对任意有，

而当时，，从而 12分

(Ⅰ) （Ⅱ），利用单调性证明

试题分析：(Ⅰ)首先，  ，有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得 

（Ⅱ）由题意，有两不同的正根，故.

解得： ，设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.因在区间上是减函数，如能证明则更有由韦达定理，，

令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值 

（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于.

由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，

（用表示的关系式与此相同），这样

即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.

点评：对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想的运用

(1)的单调递减区间是，单调递增区间是. 极小值= (2) .

试题分析：(1).令，得；                    1分

列表如下

的单调递减区间是，单调递增区间是.                  4分

极小值=                                                  5分

(2) 设，由题意，对任意的，当时恒有，即在上是单调增函数.        7分

  8分

, 

令 

                                   10分

若，当时，，为上的单调递增函数，

,不等式成立.                                           11分

若，当时，，为上的单调递减函数，

，，与,矛盾             12分

所以，a的取值范围为.                                13分

点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点．

当无极值点

【错解分析】利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解．

【正解】令=0得．

（1）当即<0或>4时

有两个不同的实根,，

不妨设<，则，

易判断在和两侧的符号都相反，即此时有两个极值点．

（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根，于是，故在的两侧均有>0，因此无极值．

（3）当△<0即0<<4时无实数根，

即，

故为增函数，此时无极值．

综上所述：当无极值点．

【点评】此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即：设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化

（1）甲    乙  （2）应投资36万元，最大利润34万元

本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题

（1）根据甲产品的利润与投资成正比，过（1.8，0.45），可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点（4，6），可得乙的函数关系式；

（2）设应给乙投资x万元，则给甲投资（100-x）万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润

（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为

试题分析：（1）函数的定义域为，.  

① 当时，，∵ ∴，∴ 函数单调递增区间为 

② 当时，令得，即，.

（ⅰ）当，即时，得，故，

∴ 函数的单调递增区间为.                     

（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.

若，则，此时，当时，.

∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时， 

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间

为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

∴有极大值，其值为，其中.

∵，即， ∴.

设函数，则，

∴在上为增函数，又，则，

∴.  

即，结合解得，∴实数的取值范围为.

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．