导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=ex．

( I)若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；

(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

正确答案

解：（Ⅰ），

．·················· 2分

∵且，

∴

∴函数的单调递增区间为．··············· 4分

（Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切线的方程为,

即, 　　① ··················· 6分

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．··············· 8分

∴直线也为，

即， ②···················· 9分

由①②得，

∴．·························· 11分

下证：在区间（1，+）上存在且唯一.

由（Ⅰ）可知，在区间上递增．

又，，······ 13分

结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．

故结论成立．

略

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题型：填空题

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填空题

(理)若函数的图像在处的切线与圆相离，则点与圆的位置关系是　　　　　　　　　．

（文）已知函数在点处与直线相切，则双曲线的离心率等于　　　　　　　　．

正确答案

（理）点P在圆内；（文）

略

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题型：简答题

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简答题

比较函数与,当时,平均增长率的大小.

正确答案

当时, 的平均增长率大于的平均增长率

点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是

(1)计算自变量的改变量

(2)计算对应函数值的改变量

(3)计算平均增长率:

对于,又对于,

故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.

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题型：简答题

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简答题

如图所示，某农场要建个相同的矩形鱼池，每个面积为，鱼池前面要留宽的运料通道，其余各边为宽的堤埂，问：每个鱼池的长宽各多少米时，占地面积最少。

正确答案

当鱼池的长为，宽为时，占地面积最小。

设鱼池方向上宽为，则长为，，，所以养鱼池占地总面积为，则，令，解得（负值舍去），∵只有一个极值，∴当时，取得最小值，此时养鱼池的长为，即当鱼池的长为，宽为时，占地面积最小。

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题型：简答题

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简答题

(1），则（4分）

（2）由（1）知，则

①当时，，令或

，

在上的值域为（7分）

② 当时， a.若,则

b.若,则在上是单调减的

在上的值域为

c.若则在上是单调增的

在上的值域为（9分）

综上所述，当时，在的值域为

当时，在的值域为（10分）

当时，若时，在的值域为

若时，在的值域为（12分）

即当时，在的值域为

当时，在的值域为

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

若正实数满足，则的最小值是________.

正确答案

18

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点（0,2）处切线方程为

正确答案

x+y+2=0

略

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题型：简答题

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简答题

若函数在点处的切线方程为

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间；

（3）若对于任意的，恒有成立，求实数的取值范围

正确答案

解：（1）因为，由题意，得

则，由题意

故 ……（4分）

（2）令，则

，

即的单调递增区间为 ………（8分）

（3）因为，又由（2）知函数在区间上为增函数

在上为减函数，

所以

又

由题意，解之得

故 …………（12分）

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题型：简答题

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简答题

判断函数

在处是否可导．

正确答案

在处不可导

，

而，

．

在处不可导．

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线与轴，直线所围成的三角形的面积为。

正确答案

，∴，∴切线的方程为，∴，则得，则得，所以。

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围

正确答案

（1）极大值为1，极小值为；（2）.

试题分析：（1）当时，令导数等于零得极值点，代入函数求得极值；（2）若在区间上是单调递增函数，则在区间内恒大于或等于零，讨论求得.

试题解析：（1）当时，，∴，

令，则，， 2分

、和的变化情况如下表

即函数的极大值为1，极小值为； 5分

（2），

若在区间上是单调递增函数，则在区间内恒大于或等于零， 6分

若，这不可能， 7分

若，则符合条件， 9分

若，则由二次函数的性质知

，即，这也不可能， 13分

所以 14分

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题型：填空题

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填空题

如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是，则f(2)＋f＇(2)＝

正确答案

试题分析：由图知，切线的斜率为，切线方程为，将x=2代人得，y=所以f(2)= ，f＇(2)＝，f(2)＋f＇(2)＝。

点评：简单题，切线的斜率是函数在切点的导数值。

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题型：简答题

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简答题

已知函数，求在区间上的平均变化率。

正确答案

2

在区间上的平均变化率为。

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题型：填空题

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填空题

设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,则从M到N的映射种数为

正确答案

27

由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，共有27个映射

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程是．

正确答案

试题分析：求出导函数，将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．解：y′=3x2+1，令x=1得切线斜率4，所以切线方程为y-3=4（x-1），即,故答案为.

点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式．

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