热门试卷

（1）函数在处取得极大值f（1）="1" ，无极小值。

（2）

（3）见解析

试题分析：（1）利用导数的思想，通过导数的符号判定函数的单调性，进而得到极值。

（2）要证明不等式恒成立，移项，右边为零，将左边重新构造新的函数，证明函数的最小值大于零即可。

（3）在第二问的基础上，放缩法得到求和的不等式关系。

解：（1）因为， x >0，则，…………1分

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值f（1）="1" ，无极小值。…………3分

（2）不等式即为 记

所以…………7分

令，则，     ，    

在上单调递增，  ，从而，

故在上也单调递增，  所以，所以 . ……9分

（3）由（2）知：恒成立，即， 

令，则

所以 , ， ，…  …  

，                                …………12分

叠加得：

 .

则，所以 …………14分

点评：解决该试题的关键是对于导数的符号与函数单调性的熟练的运用，并能结合单调性求解函数的 极值和最值问题。难点是对于递进关系的试题，证明不等式，往往要用到上一问的结论。

解：（Ι）由知：

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分

（Ⅱ）由得

∴，.             ………………………5分

∴,

∵ 函数在区间上总存在极值，

∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………6分

又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴                                          …………7分

由，∵在上单调递减，

所以；∴，由，解得；

综上得： 所以当在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值 。                                                …………8分

（Ⅲ）令，则

.

1. 当时，由得，从而,

所以，在上不存在使得；…………………10分

2. 当时，,

在上恒成立，故在上单调递增。

故只要，解得     

综上所述，的取值范围是…………………12分

略

，当无限趋近于时，无限趋近于，∴曲线在处的切线的斜率为，∴切线的方程为，即。

（Ⅰ）解：．

当时，．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以在，内是增函数，在，内是减函数．  ……4分

（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立，即有．

解些不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．                               ……8分

（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．                 ……12分

略

（1）略（2）

（I）对求导数，得

故切线的斜率为                                                     …………2分

由此得切线l的方程为

令                 …………5分

（II）由，

得                                              …………6分

记

对，               …………8分

令

当的变化情况如下表：

所以，函数上单调递减，

在上单调递增，                                        …………10分

从而函数             …………11分

依题意                                                    …………12分

解得     …………13分

（1）要证明函数在给定区间的递减的，那恶魔运导数的思想只要证明导数恒大于等于零即可。

（2）或.　

试题分析：（Ⅰ）∵

∴ 　　　　　　　　　　　2分

时，有　　　　　4分

又∵二次函数的图象开口向上，

∴在内<0，故在内是减函数．　　　6分

（Ⅱ）因为在内有且只有一个极值点等价于方程在上只有一个解，8分即                     10分

就是或.　　　　　　　　      　12分

点评：主要是考查了导数在研究函数单调性，以及极值点的运用，属于基础题。

（1）0；（2）；（3）1

试题分析：（1）当时，     1分

解得或（舍去）                 2分

当时，，单调递增，

当时，，单调递减                  3分

所以的最大值为                                4分

(2)    6分

由恒成立得恒成立         7分

因为，等号当且仅当时成立            8分

所以                                                   9分

（3）时，方程即

设，解

得(<0舍去)，

在单调递减，在单调递增，最小值为      11分

因为有唯一实数解，有唯一零点，所以    12分

由得，

因为单调递增，且，所以           13分

从而                                                       14分

点评：此类问题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识