热门试卷

（1）（2）要证明差的绝对值小于等于e，只要证明差介于-e和e之间即可，求解函数的 最值的差可知。

试题分析：（Ⅰ）解：，       2分

由已知得，解得．

当时，，在处取得极小值．

所以.                     4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，.

当时，，在区间单调递减；

当时，，在区间单调递增.

所以在区间上，的最小值为.    8分

又，，

所以在区间上，的最大值为.      10分

对于，有．

所以.            12分

点评：解决的关键是利用导数判定单调性，并能结合函数的最值来证明不等式，属于中档题。

（1）=1（2）的取值范围是

(1) ，由于函数在时取得极值，

所以  即

(2) 方法一

由题设知：对任意都成立

即对任意都成立

设 , 则对任意，为单调递增函数

所以对任意，恒成立的充分必要条件是

即 ，

于是的取值范围是

方法二

由题设知：对任意都成立

即对任意都成立

于是对任意都成立，即

于是的取值范围是

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

试题分析：（1）由已知，，依题意：对恒成立，即：对恒成立，亦即对恒成立，，

即。

(2) .取，，

一方面，由（1）知在上是增函数，

所以，所以，即。

另一方面，设函数，

所以在上是增函数，又，

当时，，所以，即。

综上，

点评：构造新函数来证明不等式是难点，学生不易掌握

a≥e，

本试题考查了导数在研究函数中的运用。根据函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，可知导函数在给定区间恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，从而得到a≥e

f ′(x)＝＝，因为　f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，

解：（1） 令，解得……………2分

所以函数的单调递减区间为            …………………3分

（2）由（1）可知，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为，所以是极小值点，是极大值点，      …………………………4分

所以，是极小值且，是极大值且  …………5分

方程有三个不同的实根，即的图象与轴有三个交点，需满足

解得：                                      …………………………7分

（3）因为 

所以                            …………………………………8分

因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值.…… 10分

于是有，解得              ……………………………………11分

故 因此

即函数在区间上的最小值为－7.          ……………………………………12分

略

水箱底边长取时，容积最大．其最大容积为

设水箱底边长为，则水箱高为．

水箱容积．

．

令，得（舍）或．

当在内变化时，导数的正负如下表：

＋

－

因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．

将代入，得最大容积．

答：水箱底边长取时，容积最大．其最大容积为．

，当无限趋近于时，无限趋近于，所以。

（1）在处的切线方程为；（2）函数的单调增区间为;单调减区间为；（3）.

试题分析：（1）首先求函数的定义域，利用导数的几何意义求得在处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求得在处的切线方程；（2）分别解不等式可得函数的单调递增区间、单调递减区间；（3）由已知“对于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分别求函数，的最小值，最后解不等式得实数的取值范围．

试题解析：函数的定义域为，                      1分

    　                            2分

（1）当时，，，       3分

，

，                                           4分

在处的切线方程为.                    5分

(2).                 

当,或时, ;                             6分

当时, .                                        7分

当时，函数的单调增区间为;单调减区间为.   8分

(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)

（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，

∴函数在[1，2]上的最小值为                9分

若对于[1，2]，使≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                        10分

又，

当时，在上为增函数，

与（*）矛盾                     11分

当时，，由及

得，                                            12分

③当时，在上为减函数，

及得.                                           13分

综上，的取值范围是                              14分