热门试卷

解：设切点为，

∵y′=2x，

∴

∴

故当时，直线y=x与曲线y=x2+k相切，且切点坐标为。

（1）f′(x)=-=，（2分）

∵a=，令f′（x）＞0，得x＞2，或x＜，

∴函数f（x）的单调增区间为(0，)，（2，+∞）．（6分）

（2）∵＜-1，

∴+1＜0，

∴＜0，（8分）

设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．

当1≤x≤2时，h(x)=lnx++x，h′(x)=-+1，

令h′（x）≤0，得：a≥+(x+1)2=x2+3x++3对x∈[1，2]恒成立，

设m(x)=x2+3x++3，则m′(x)=2x+3-，

∵1≤x≤2，∴m′(x)=2x+3-＞0，

∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，

∴a≥（12分）

当0＜x＜1时，h(x)=-lnx++x，h′(x)=--+1，

令h′（x）≤0，得：a≥-+(x+1)2=x2+x--1，

设t(x)=x2+x--1，则t′(x)=2x+1+＞0，

∴t（x）在（0，1）上是增函数，

∴t（x）＜t（1）=0，

∴a≥0，（15分）综上所述，a≥（16分）

解：设P（x0，y0），

∵y′=-8x-3，

∴

∴x0=2，代入曲线方程得y0=1，

∴所求点P坐标为（2，1）。

（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x3+bx2+ax+2，f'（x）=3x2+2bx+a．

∵点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0

∴f'（x）|x=-1=3x2+2bx+a|x=-1=3-2b+a=6①，

还可以得到，f（-1）=y=1，即点M（-1，1）满足f（x）方程，得到-1+b-a+2=1②

由①、②联立得b=a=-3

故所求的解析式是f（x）=x3-3x2-3x+2．

（Ⅱ）f'（x）=3x2-6x-3．，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0．

解得x1=1-，x2=1+．当x＜1-，或x＞1+时，f′(x)＞0；

当1-＜x＜1+时，f′(x)＜0．

故f（x）的单调增区间为（-∞，1-），（1+，+∞）；单调减区间为（1-，1+）

解（1）f′(x)=-2bx，f′(2)=-4b，f（2）=aln2-4b．

∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．

解得a=2，b=1．

（2）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，

则h′(x)=-2x=，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．

在[， e]内，当x∈[， 1)时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；

当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．

则方程h（x）=0在[， e]内有两个不等实根的充要条件是

即1＜m≤+2．

解：∵

∴曲线在点（3，27）处的切线方程为y-27=27（x-3），即y=27x-54，

此切线与x轴、y轴的交点分别为（2，0）、（0，-54），

∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积=54。

解：设过（1，1）的直线与y=x3相切于点，

所以切线方程为，即，

又（1，1）在切线上，

则x0=1或，

当x0=1时，直线l的方程为y=3x-2；

当时，直线l的方程为；

∴直线l的方程为y=3x-2或。

（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]=e-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，

得x=0或x=2-a，

当a=2时，f'（x）=-x2e-x≤0恒成立，此时f（x）单调递减；

当a＜2时，f'（x）＜0时，2-a＞0，

若x＜0，则f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，则f'（x）＞0，x=0是函数f（x）的极小值点；

当a＞2时，2-a＜0，若x＞0，则，若2-a＜x＜0，则f'（x）＞0，

此时x=0是函数f（x）的极大值点，

综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＜2，且当x＞2-a时，f'（x）＜0，

因此x=2-a是f（x）的极大值点，fmax（x）=f（2-a）=（4-a）ea-2，

于是g（x）=（4-x）ex-2（x＜2）

g'（x）=-ex-2+ex-2（4-x）=（3-x）ex-2，令h（x）=（3-x）ex-2（x＜2），

则h'（x）=（2-x）ex-2＞0恒成立，

即h（x）在（-∞，2）是增函数，

所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e2-2=1，即恒有g'（x）＜1，

又直线2x-3y+m=0的斜率为，直线3x-2y+n=0的斜率为，

所以由导数的几何意义知曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0相切．