热门试卷

解：∵y=cosx，

∴y′=（cosx）′=-sinx，

∴曲线在点处的切线的斜率

∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为

∴适合题意的直线方程为

即。

解：∵点A（1，2）在两条曲线上，

∴，即，    ①

又的导数为，

∴，

又的导数为，

∴，

又∵两曲线有公共切线，∴4=2+b，②

联立①②解得：a=1，b=2，c=-1。

解：（导数定义法）

∵

∴，

∴。

解：因为，

所以，

曲线在点处的切线方程为，即 x+9y-6=0。

解：（Ⅰ）由已知得f′(x)=3x2-2x-1，

又f′(2)=7，

所求切线方程是7x-y-12=0；

（Ⅱ）因为f′(x)=3x2-2x-1f′(x)=0x1=1，x2=，

又函数f(x)的定义域是所有实数，则x变化时，f′(x)的变化情况如下表：

所以当x=时，函数f(x)取得极大值为；当x=1时，函数f(x)取得极小值为-1。

（1）∵当a=1时，f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，当f′（x）＜0，即x∈（-1，1）时，f（x）为减函数；当f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]，或x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1]，[1，+∞）上单调递增∴f（x）的极小值是f（1）=-2

（2）∵f′（x）=3x2-3a≥-3a，∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，当且仅当-1＜-3a时成立，∴a＜

（3）因g（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值

①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．

②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+)(x-)，

（ⅰ）当≥1，即a≥1时，g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1

（ⅱ）当0＜＜1，即0＜a＜1时，当f′（x）＞0，即x＞或x＜-时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即-＜x＜时，f（x）单调递减．所以f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]单调递增．

1°当f(1)=1-3a≤0，即≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，F(a)=-f()=2a；

2°当f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜

（ⅰ）当-f()≤f(1)=1-3a，即0＜a≤时，F(a)=f(1)=1-3a

（ⅱ）当-f()＞f(1)=1-3a，即＜a＜时，F(a)=-f()=2a

综上所述F(x)=

（1）f′(x)=+=+，

当a=2时，f′（0）=，而f（0）=-，

所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y-（-）=（x-0），即7x-4y-2=0．

（2）因为a≠1，由（1）可知f′(1)=+=+；

又因为f（x）在x=1处取得极值，

所以+=0，解得a=-3；

此时f(x)=+ln(x+1)，定义域（-1，3）∪（3，+∞）；

f′(x)=+=，

由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当-1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；

当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；

由上讨论可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．