热门试卷

解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），

则f'（x）=2ax，k1=2a，

g（x）=x3+bx，则f'（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）为公共切点，

可得：2a=3+b  ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，

代入①式可得：。

（2）由题设a2=4b，

设

则，

令h'（x）=0，解得：，；

∵a＞0，

∴，

①若，即a≤2时，最大值为；

②若，即2＜a＜6时，最大值为

③若时，即a≥6时，最大值为

综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；

当a∈（2，+∞）时，最大值为。

解：（1）∵f（x）=x3﹣ax，x∈R，

∴f′（x）=3x2﹣a≥﹣a，

∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=﹣a，

∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，

∴﹣a=﹣1，故a=1．

（2）∵a=1，

∴f（x）=x3﹣x，f′（x）=3x2﹣1，

令f′（x）=3x2﹣1=0，得x=

列表讨论：

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （﹣∞，﹣）、（，+∞）；

单调减区间是（﹣，）．极大值f（﹣）=﹣+=，极小值f（）==﹣．

（3）∵f（x）﹣kf（x﹣1）≥0，f（x）=x3﹣x，

∴k≤====1+，

∵x∈（1，+∞），当1＜x＜2时，﹣2＜1+＜1

当x=﹣2时，1+＜+∞，

当x＞2时，1+＞1

∴k≤﹣2．

解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b

因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b

因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），

即对任意实数x，

有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]

从而3a+1=0，b=0， 解得，

因此f（x）的解析表达式为．

（2）由（1）知， 所以g'（x）=﹣x2+2，

令g'（x）=0 解得

则当时，g'（x）＜0

从而g（x）在区间，上是减函数，

当，

从而g（x）在区间上是增函数，

由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，

而，

因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，

依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）∵f（x）=x3﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，

fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲线方程为y=x3﹣3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），切线的斜率为 （左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，

下研究方程解有三个时参数所满足的条件

设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则g′（x0）=6x02﹣6x0，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是 ，

解得﹣3＜m＜﹣2．

故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

解：（1）①

∵函数f（x）在x=1处与直线相切

∴，解得

②

当时，令f'（x）＞0得；

令f'（x）＜0，得1＜x≤e

∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，

∴

（2）当b=0时，f（x）=alnx

若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，

则alnx≥m+x对所有的都成立，

即m≤alnx﹣x，对所有的都成立，

令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴上单调递增

∴h（a）min=h（0）=﹣x，

∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立，

∵1＜x＜e2，

∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）min=﹣e2．

解：（I）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 

∴f′（1）=a

∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直

∴f′（1）=1 ∴a=1；

（II）由（I）可得 ，

证明g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立，

即 恒成立

∴只要证明lnx﹣x+1≤0（x＞0）恒成立

构造函数h（x）=lnx﹣x+1（x＞0）

∴ 

令 ，

结合x＞0，可得0＜x＜1，

令 ，结合x＞0，可得x＞1，

∴x=1处有极大值h（1）=0，且为最大值

∴lnx﹣x+1≤0在x∈（0，+∞）内恒成立

∴g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．

解：∵，

∴，

设，则过M点曲线C的切线斜率k=-2m，

∴切线方程为，

由x=0，得，；

由y=0，得，，其中0＜m＜2，

设△AOB的面积为S，则，0＜m＜2，

∴，

令S′=0，得，解得，

当时，S′＜0，S在区间上为减函数；

当时，S′＞0，S在区间上为增函数；

∴当时，S取得最小值，最小值为。

解：（1）k=2，，

，

当x=2时，f′（2）=-1，

切线方程为x+y=1；

（2），得，

当k≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立；

当k＞0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，

当时，f（x）取最大值，

，

∴k≥1；

（3）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即，

∴，

取x=3，4，5，…，n，n+1累加得

。

解：（1），

由题意，得，

解得：，

设切线的方程为y=3x+m，由原点到切线的距离为，

则，解得：，

∵切线不过第四象限，

∴m=1，

∴切线的方程为y=3x+1，

由于切点的的横坐标为x=1，

∴切点坐标为（1，4），

∵，

∴c=5。

（2）由（1）知，，

所以，

令，得，

列表如下：

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11。

解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，

∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．

（2）由f'（﹣1）=0得，

此时有．

由f'（x）=0得或x=﹣1，

又，

所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．

（3）f'（x）=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，

由条件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，

∴-2≤a≤2．

所以a的取值范围为[-2，2]．

解：（1）f'（x）=3mx2﹣1，依题意，得，即1=3m﹣1，

∴，把N（1，n）代得，得，

∴

（2）令，则，

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数当时，f'（x）=2x2﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值

又因此，当，要使得不等式f（x）≤k﹣1995

对于f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010

所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）≤k﹣1992对于x∈[﹣1，3]恒成立．

解：（Ⅰ）由已知得，

由已知得，  

故。

 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，

知f（x）在上为减函数，在上为增函数， 

要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，

只需在上，的值最大，

由f（x）在区间上的单调性知，

只有当或时，的值最大，

而， 

故当时，△AOB的面积最大，且最大值为。

解：（1），

又，

∴，

∵两曲线在点P处的切线互相垂直，

∴，

，

∴，

∴。

（2），

对任意的恒成立

，

 ，

则f′（x）＞0得，

∴函数f（x）在上递减，在上递增，

而，

∴，

而，

当x∈[-1，1]时，，

故；

∴实数k的取值范围是（-∞，-2）。

解：（Ⅰ）∵，

令时，解得，

当x变化时，变化如下：

由上表可知：，

又，，

比较可得：当时，，

因为恒成立，所以，即，

所以最小正整数。

（Ⅱ），

则，

所以，

又因为，

所以切线方程为，

令，，

令，，

所以，

因为，

则，

则，

所以，即S在单调递增，

所以a=2时，。