热门试卷

题型：简答题

简答题

已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．

（1）求数列{an}，{cn}的通项公式；

（2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，

若有，请求出n；若没有，请说明理由．

（3）设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜．

解：∵y= x2，∴y′=，y′|x=n=，

∴点Bn（n，bn）作抛物线y=x2的切线方程为：y﹣=（x﹣n），

令y=0，则x=，即an=；

∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，

∴an+cn=2n，∴cn=2n﹣an=

（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，

则|AnCn|=2bn∴n=，∴n=2，

∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形

（3）证明：∵===（﹣）

Sn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜

又1﹣随n的增大而增大，

∴当n=1时，Sn的最小值为：（1﹣）=，

∴≤Sn＜

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 推理与证明

百度题库 > 高考 > 数学 > 导数及其应用

扫码查看完整答案与解析