- 导数及其应用
- 共6208题
导函数的最大值是原函数的最小值．______（判断对错）
正确答案
错
解析
解：我们通常用导函数大于0，判断原函数单调增，导函数小于0，判断原函数单调减；
而导函数的最大值与原函数的最小值之间没有关系．
∴导函数的最大值是原函数的最小值，说法错误．
故答案为：错．
函数f（x）=|x|，在x=0处（ ）
正确答案
解析
解：当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，根据导数的定义可知函数f（x）=|x|，在x=0处导数不存在，
故选D．
（2015春•宝鸡校级月考）已知函数f（x）可导，且f′（1）=1，则
正确答案
解析
解：∵f′（1）=1，
则
故选：A．
设f（x）是可导函数，且
A-4
B-1
C0
D
正确答案
解析
解：∵
∴f′（x0）=
故选A．
命题“若可导函数f（x）是奇函数，则f′（x）是偶函数”的否命题是（ ）
正确答案
解析
解：“若可导函数f（x）是奇函数，则f‘（x）是偶函数”的否命题是：
“若可导函数f（x）不是奇函数，则f'（x）不是偶函数”．
故选：D．
（2015春•宝鸡校级月考）已知函数f（x）可导，且f′（1）=1，则
正确答案
解析
解：∵f′（1）=1，
则
故选：A．
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（
正确答案
已知定义在实数集上的函数
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f2（x）=x2f2'（x）=2x
∴
∴（x1﹣x2）（2a﹣1）=0
∵x1≠x2，
∴
（Ⅱ）∵f1（x）=xf2（x）=x2f3（x）=x3，
∴g（x）=mx2+x﹣3lnx（x＞0）
∴g′（x）=
∵函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，
∴该零点左右g′（x）同号，
∵m≠0，∴二次方程2mx2+x﹣3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=﹣
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
∵x∈[0，
∴①当﹣6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，
∴k=g′（x）在（0，
∴当x=
②当m＜﹣6时，由k′=0，得x=
而
若x∈
若x∈
故当x=
综上，kmax=
二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值．
正确答案
（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴方程组
即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根，
∴△=（b-1）2=0
∴b=1，a=
∴函数f（x）的解析式为f(x)=
（其它做法相应给分）
（II）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，
∴不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）．
即
∴方程
即方程x2-2tx+t2-2t=0的两根为4和m．
∴
解得t=8，m=12∴t和m的值分别为8和12．（13分）
已知点P（2，2）在曲线y=ax3+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么（i）ab=______；
（ii）函数f（x）=ax3+bx，x∈[-
正确答案
（1）点P（2，2）在曲线y=ax3+bx
则：8a+2b=2
∵y'=3ax2+b
∴当x=2 时，12a+b=9
联立得：a=1，b=-3∴ab=-3
（2）由（1）知y=x3-3x
∴y'=3x2-3，令3x2-3=0，x=±1
∵f（1）=1-3=-2，f（-1）=-1+3=2，f（3）=27-9=18，f（-
∴y=x3-3x在x∈[-
故答案为：-3，[-2，18]．
有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′(
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!．
④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是______．
正确答案
①中f（2x）为复合函数，故其导数为f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），①为假命题；
②h（x）=cos4x-sin4x=（cos2x-sin2x）（cos2x+sin2x）=cos2x-sin2x=cos2x，
h′（x）=-2sin2x，所以h′(
③g（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
∴g′（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]′（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010）′
=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]′（x-2010）+（x-1）（x-2）…（x-2009）
∴g′（2010）=…=2009!，故③为真命题；
④f′（x）=3ax2+2bx+c，f（x）有极值点⇔f′（x）=0有两个不等实根⇔△=4b2-12ac＞0，故命题④为假命题．
故答案为：③
设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
正确答案
（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11解得：a=1，b=-3．
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．
对于函数f(x)=
①在该函数图象上一点（-2，f（-2））处的切线的斜率为-
②函数f（x）的最小值为-
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数．
其中正确命题的序号是______．
正确答案
x≤0时，f（x）=2xex，f′（x）=2（1+x）ex，故f′（-2）=-
且f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，故x≤0时，f（x）有最小值f（-1）=-
x＞0时，f（x）=x2-2x+
故f（x）有最小值-
故答案为：①②④
已知函数f（x）=ax3﹣bx2的图象过点P（﹣1，2），且在点P处的切线恰与直线x﹣3y=0垂直．则函数f（x）的解析式为（ ）
正确答案
f（x）=x3+3x2
设函数f(x)=
正确答案
依题意f'（1）=2+a=1，且
∴a=b=-1，
∴f（x）=
当x＞1时，f（x）＞0，
当x≤1时，f（x）=x2-x=（x-
∴可得函数的最小值是f（
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