热门试卷

（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则

g′（x）=2ax+b+=＞0(i)恒成立．

∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立

∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立

则函数g（x）不可能总为增函数．

（2）①对于二次函数：

k===2ax0+b

由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b

即k=f′（x0）

（2）②

不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，

k==

如果有①的性质，则g′（x0）=k

∴=，c≠0

即∴=，

令t=，t＞1，则=

设s（t）=lnt-，则s′(t)=-=＞0

∴s（t）在（1，+∞）上递增，

∴s（t）＞s（1）=0

∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．

（1）由定义知f（x，y）=（1+x）y（x＞0，y＞0）

∴f（1，3）=（1+1）3=8，f（2，2）2=9∴f（1，3）＜f（2，2）．

（2）f（x-1，y）=xy，f（y-1，x）=yx

要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证xy＞yx

∵xy＞yx⇔ylnx＞xlny⇔＞

令h(x)=，则h′(x)=，当x＞e时，h'（x）＜0

∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．

∵e＜x＜y∴h（x）＞h（y）即＞

∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．

（3）由题意知：g（x）=x3+ax2+bx+1，且g'（x0）=k

于是有3x02+2ax0+b=-4在x0∈（1，1-a）上有解．

又由定义知log2（x03+ax02+bx0+1）＞0即x03+ax02+bx0＞0

∵x0＞1∴x02+ax0＞-b

∴x02+ax0＞3x02+2ax0+4即ax0＜-2（x02+2）

∴a＜-2(x0+)在x0∈（1，1-a）有解．

设V(x0)=x0+，x0∈(1，1-a)

①当1-a＞即a＜1-时，V(x0)=x0+≥2．

当且仅当x0=时，V(x0)min=2

∴当x0=时，-2(x0+)max=-4∴a＜-4．

②当1＜1-a≤时，即1-≤a＜0时，V(x0)=x0+在x0∈（1，1-a）上递减，

∴x0+＞1-a+．∴a＜-2[(1-a)+]整理得：a2-3a+6＜0，无解．

综上所述，实数a的取值范围为(-∞，-4)．

（1）解：，

当>0时，的单调增区间为，减区间为；

当a<0时，的单调增区间为，减区间为；

当=0时，不是单调函数。

（2）解：，∴，

，

∴，

∴，

∵在区间（t，3）上总不是单调函数，且，

∴，

由题意知：对于任意的，恒成立，

所以，，∴，

所以，m的取值范围是（，-9）。

（3）证明：令，此时，

所以，

由（1）知在上单调递增，

∴当时，，

即，

∴，对一切成立，

∵，

则有，

∴，

∴。

（Ⅰ）∵f′(x)=，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，

∴其斜率为k=f′（1）=1

∴直线l的方程为y=x-1．

又因为直线l与g（x）的图象相切，

由⇒x2+(m-1)x+=0，

得△=（m-1）2-9=0⇒m=-2（m=4不合题意，舍去）

（Ⅱ）∵g(x)=x2-2x+

由h(x)=x2-2ax+-lnx+2ax-=x2-lnx≥恒成立，

得a≥(x＞0)恒成立

设ϕ(x)=，则ϕ′(x)=

当0＜x＜1时，ϕ′（x）＞0；当x＞1时，ϕ′（x）＜0．

于是，ϕ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

故φ（x）的最大值为ϕmax（x）=ϕ（1）=1

要使a≥ϕ（x）恒成立，只需a≥1，

∴a的取值范围为[1，+∞）

解：（1）∵为奇函数，

∴

即

∴

∵的最小值为

∴

又直线的斜率为

因此，

∴，，。

（2）

∴，列表如下：

所以函数的单调增区间是和

∵，，

∴在上的最大值是，最小值是。

（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0

所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c

由题意得，

解得a=，c=-

（II）不存在．

证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1

所以（x12-1）（x22-1）=-4

因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]

因此（x12-1）（x22-1）≠-4

所以不存在．

（III）证明：f′(x)=x2-

由f′(x)=x2-=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-，fmax(x)=f(-1)=

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=＜

（1）依题意，得：f′（x）=3x2-6x+2，∴f″（x）=6x-6．

由f″（x）=0，即 6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，

∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．

（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．

而f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+2（1+x）+2+（1-x）3-3（1-x）2+2（1-x）+2

=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f（1），

由定义（2）知：f（x）=x3-3x2+2x+2关于点（1，2）对称．

（3）一般地，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（-，f（-）），它就是f（x）的对称中心．

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）

（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．

当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．

当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x3+mx2-（1-m）x）=2x3-mx2+（1-m）x∴f(x)=．

当m=2时，∴f(x)=

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率，对任意的x0∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，

则在任意x0∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，

∵f'（x）是偶函数

∴对任意x0∈（0，1]时，-1≤f'（x0）≤9恒成立

10当-≤0时，由题意得

∴0≤m≤2

20当0＜-≤1时

∴

∴-6≤m＜0

30当-＞1时∴

∴-8≤m＜-6

综上：-8≤m≤2

∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．

解：(Ⅰ)当m=1时，，

f′(x)=-x2+2x，故f′(1)=1，

所以曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1。

(Ⅱ)f′（x）=x2+2x+m2-1，

令f′(x)=0，解得x=1-m或x=1+m，

因为m＞0，所以1+m＞1-m，

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

 所以f(x)在（-∞，1-m），(1+m，+∞)内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数，

函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)，且，

函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且。

(Ⅲ)由题设，，

所以方程有两个相异的实根x1，x2，

故，且，

解得（舍）或，

因为x1＜x2，所以，故，

若，则，

而f(x1)=0，不合题意，

若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，

则，

又f(x1)=0，所以 f(x)在[x1，x2]上的最小值为0，

于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立的充要条件是，

解得；

综上，m的取值范围是。

证明：（I）∵f(x)=|1-|=

故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和-1=1-，即+=2⇒2ab=a+b＞2

故＞1，即ab＞1

（II）0＜x＜1时，y=f(x)=|1-|=-1，∴f′(x0)=-，0＜x0＜1

曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为：y-y0=-(x-x0)，即y=-+

∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2-x0)，0)和(0，(2-x0))

故所求三角形面积听表达式为：A (x0)=x0(2-x0)•(2-x0)=(2-x0)2

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

∵f（0）=2∴c=2

∵f（x）=f（-2-x）

∴图象的对称轴-=-1

导函数图象与直线y=-垂直

∴2a=2从而解得：a=1  b=2  

∴a=1  b=2 c=2

∴f（x）=x2+2x+2  （x∈R）…（6）

（2）g(x)==x++2在（0，2）上是减函数

当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．

g（x）=x++2≥2+2

该函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上递减

∴

∴m≤-2…（12）

解：函数f（x）的导函数为

（1）由题图可知，函数f（x）的图像过点（0，3），且

得；

（2）依题意可得得

解得

所以

（3）依题意

由得 ①

若方程有三个不同的根，当且仅当满足

 ②

由①②得

解得

所以当时，方程有三个不同的根。