热门试卷

（1）4

（2）当a = 3时S(a)有极大值 ，且极大值为S(3) = 4 ．

解 ：（1 ） 由   y = ，得两曲线的交点为（0，0），（3 ，0），由定积分的几何意义知 ，所求图形的面积为

S =  =" 3" ·－ = － =  = 4 ；

（2）由题意和定积分的几何意义知

S(a) =  = － ，

∴ =" 3" a－ = －a（a－3），

∴ 当a∈（0 ，3）时 ，S(a) 单调递增 ，当a∈（3 ，+∞）时 ，S(a) 单调递减 ，当a = 3时S(a)有极大值 ，且极大值为S(3) = 4 ．

力F所做的功W=xdx+(x+1)dx=x2+(x2+x)=3J．

答：力F所作的功为3J．

解：(1)水渠横断面过水面积为;

（2）设计改挖后的水渠的底宽为时，可使所挖土的土方量最少。

本试题以圆锥曲线为背景，结合了定积分的几何意义，表示曲边梯形的面积的，以及直线与抛物线相切的相关知识的综合愚弄。

（1）利用建立直角坐标系，然后设出方程和点的坐标，结合定积分的几何意义表示出面积。

（2）分析为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，则需要结合导数的几何意义来表示得到切线方程，从而表示梯形面积，求解得到最值。

解：(1)建立如图的坐标系,设抛物线的方程为,由已知在抛物线上,得,∴抛物线的方程为，令，得，即水面宽为8（）。

∴水渠横断面过水面积为

（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图，

设切点，则函数在点的切线方程为

令，得；

∴此时梯形OABC的面积为

∵，

当且仅当时，等号成立，此时

∴设计改挖后的水渠的底宽为时，可使所挖土的土方量最少。

（1）∵f(a)•(e-1)=f(x)dx，∴•(e-1)=dx=lnx=，1∴a=e-1…（3分）

（2）f(x)dx=dx=lnx=lnt

设•(t-1)=lnt，∴a=…（5分）

下面证明a∈[1，t]：a-1=-1=

设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)=1-=＞0(∵t＞1)

∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0

又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）

a-t=-t=

设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)=1-(1•lnt+t•)=-lnt＜0(∵t＞1)

∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0

又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]

综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=f(x)dx成立．…（11分）

（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f（x0）与该区间长度的积，即f(x)dx=f(x0)•(b-a)其中x0∈[a，b]…（14分）

设旋转体的体积为V，

则v=πsin2xdx=πdx=[π-cos2xdx]

=-•2cosxd(2x)=-π•sin2x．

故旋转体的体积为：．