导数及其应用
共6208题

导数及其应用
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题型：填空题

填空题

计算抛物线y=与直线y=x+4所围图形面积s=______．

正确答案

联立，解得x=-2或x=4．

∴抛物线y=与直线y=x+4所围图形面积S=(x+4-)dx=(+4x-)=18．

故答案为18．

题型：简答题

简答题

模型火箭自静止开始铅直向上发射，设起动时即有最大加速度.以此时为起点，加速度满足a(t)=100-4t2,求火箭前5 s内的位移.

正确答案

由题设知t=t0=0,v(0)=0,s(0)=0,

∴v(x)=.

∴s(5)=

=(50t2-t4)

题型：简答题

简答题

计算下列定积分：

(1);

(2).

正确答案

(1) =ln2.

(2)1

(1)=［ln(x+1)］|10=ln2.

(2).

题型：简答题

简答题

求的值.

正确答案

由I=,

设J=

则I+J=,

I-J=.

故2I=，即I=.

题型：简答题

简答题

设函数是二次函数，已知，且有两个相等实根．问是否存在一个常数，使得直线将函数的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，若不存在，请说明理由；若存在，则求出此常数．

正确答案

设，

由，．

由已知有两个相等实根，，，

所以．

由，得．

，

由题意，故．

题型：简答题

简答题

在区间［0，1］上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.

正确答案

t=时，S最小，∴最小值为S()=

S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即

S1=t·t2-x2dx=t3.

S2的面积等于曲线y=x2与x轴、x=t,x=1围成的面积减去矩形面积，

矩形边长分别为t2，（1-t），即

S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.

所以阴影部分的面积S为

S=S1+S2=t3-t2+（0≤t≤1）.

∵S′(t)=4t2-2t=4t(t-)=0时，得t=0，t=.

当t=时，S最小，∴最小值为S()=.

题型：简答题

简答题

已知质量为的物体，将该物体发射升空脱离地球，求证：物体脱离地球时所做的功为（其中，分别为地球的质量和半径，为引力常数）．

正确答案

证明见解析

证明：引力，

使物体自运动到时所做的功为

，

故物体脱离地球时所做的功为

．

题型：填空题

填空题

设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝______.

正确答案

由定积分的几何意义，曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积．S＝＝＝，∴＝a，解得a＝.

题型：填空题

填空题

由曲线，，所围成的图形面积为．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

计算：.

正确答案

=arcsin-arcsin0=.

题型：简答题

简答题

如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.

（1）求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);

(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.

正确答案

（1）P点的坐标为（-,）时，△PAB的面积最大（2）证明见解析

（1）解方程组，得x1=1,x2=-4.

∴抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为

A（1，3），B（-4，-12），

∴P点的横坐标a∈(-4,1).

点P（a,b)到直线y=3x的距离为d=,

∵P点在抛物线上，∴b=4-a2，

=·(4-3a-a2)′= (-2a-3)=0,

∴a=-，即当a=-时，d最大，

这时b=4-=,

∴P点的坐标为（-,）时，△PAB的面积最大.

（2）设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,

位于x=-右侧的面积为S1.

S=（4-x2-3x)dx=,

S1=（4-x2-3x)dx=,

∴S=2S1,即直线x=-平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.

题型：填空题

填空题

dx＝________.

正确答案

设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝×4π＝π.

题型：填空题

填空题

由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为________．

正确答案

根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为

题型：填空题

填空题

曲线，所围成的封闭图形的面积为 .

正确答案

试题分析：曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.

题型：填空题

填空题

已知，则二项式展开式中含项的系数是_________.

正确答案

－192

试题分析：因为=2，

所以展开式中通项为，令3－r=2，得r=1,

含项的系数是－192.

点评：小综合题，将定积分计算与二项式定理的通项公式综合考查，思路明确，拼凑痕迹明显。

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