热门试卷

（Ⅰ）∵F（x，y）=（1+x）y

∴f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9，

故A（0，9），…（1分）

又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B（n，t） （n＞0），f'（x）=2x-4．  

∴，

解得B（ 3，6 ），…（2分）

∴S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)|03=9．       …（4分）

（Ⅱ）g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1，

设曲线C2在x0（-4＜x0＜-1）处有斜率为-8的切线，

又由题设log2（x3+ax2+bx+1）＞0，g'（x）=3x2+2ax+b，

∴存在实数b使得有解，…（6分）

由（1）得b=-8-3x02-2ax0，代入（3）得-2x02-ax0-8＜0，…（7分）

∴由有解，

得2×（-4）2+a×（-4）+8＞0或2×（-1）2+a×（-1）+8＞0，

∴a＜10或a＜10，

∴a＜10．                                               …（9分）

（Ⅲ）令h(x)= ， x≥1，由h′(x)=，…（10分）

又令p(x)=-ln(1+x)，  x＞0，

∴p′(x)=-=＜0，

∵p（x）在[0，+∞）连续∴p（x）在[0，+∞）单调递减，…（12分）

∴当x＞0时有，p（x）＜p（0）=0，

∴当x≥1时有，h'（x）＜0，

∴h（x）在[1，+∞）单调递减，…（13分）

∴1≤x＜y时，有＞，

∴yln（1+x）＞xln（1+y），

∴（1+x）y＞（1+y）x，

∴当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．                …（14分）

(1) ，，；(2) ；(3)见解析.

试题分析：(1)利用导数求直线切线和切线的方程，从而易得的值，再得直线的方程，知点在直线上，所以，既得通项公式；(2)观察图形利用定积分求表达式；(3)分别求得及表达式，再用数学归纳法、二项式定理及导数的方法证明即可.

试题解析：(1) 由，设直线的斜率为，则.

∴直线的方程为.令，得，                       1分

∴， ∴. ∴.

∴直线的方程为.令，得.              2分

一般地，直线的方程为，

由于点在直线上，∴.                        3分

∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.              4分

（2）

.                                                6分

（3）证明： ,  8分

∴，.

要证明，只要证明，即只要证明.       9分

证法1：（数学归纳法）

①当时，显然成立；

②假设时，成立，则当时，，

而，

，，

时，也成立，由①②知不等式对一切都成立.          14分

证法2：

.

所以不等式对一切都成立.                14分

证法3:令,则,

当时, ,

∴函数在上单调递增. ∴当时, .

∵N, ∴,   即.∴.

∴不等式对一切N都成立.                      14分

（1）原式=4xdx-x2dx

=2x2|_-13

=16-

=

（2）原式=(+cos2x)dx

=(x+sin2x)|_-

π

2

π2

=．

（Ⅰ）∵f′(x)=，∴f'（2）=1，

∴切线l的方程为y-1=x-2，即y=x-1．（4分）

（Ⅱ）令f(x)==0，则x=．令y=x-1=0，则x=1．

∴A=(x-1)dx-dx=(x2-x)-(2x-3)32=．（10分）

故封闭图形的面积S=．

（1）f′（x）=ex-1                              　　　　　　　　　　　　　　  

由f′（x）=0得x=0

当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0

∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减

∴f（x）min=f（0）=1                 

（2）∵M∩P≠∅，∴f(x)＞ax在区间[，2]有解

由f（x）＞ax得ex-x＞ax

即a＜-1在[，2]上有解           　　　　　　　

令  g(x)=-1，  x∈[，2]

∴g′(x)=

∴g(x)在[，1]上减，在[1，2]上增

又g()=2-1，g(2)=-1，且g(2)＞g()

∴g(x)max=g(2)=-1

∴a＜-1                                               　　　　　　　　　　　　　

（3）设存在等比数列{bn}，b1+b2+…+bn=Sn

∵Sn=∫tn[f（x）+x]dx=en-et

∴b1=e-et         　　　　　　　　　　　 

n≥2时bn=Sn-Sn-1=（e-1）en-1

当t=0时bn=（e-1）en-1，数{bn}为等比数列

t≠0时≠，则数{bn}不是等比数列

∴当t=0时，存在满足条件的数bn=（e-1）en-1满足题意

（1）(x2+1)dx=(x3+x)=×63+6=78．

（2）∵f（x）是一次函数，

∴设f（x）=ax+b，a≠0，

∵且f（x）dx=5，

∴（ax+b）dx=(ax2+bx)=a+b=5，①

∵xf（x）dx=，

∴xf（x）dx=（ax2+bx）dx=(ax3+bx2)=a+b=，②

由①②得a=4，b=3，

即f（x）=4x+3，

∴dx=dx=（4+）dx=（4x+3lnx）|=8+3ln2-4-3ln1=4+3ln2．

由，

得y=x2-2x+3和y=x+3的交点是（0，3），（3，6）．

∴y=x2-2x+3和y=x+3所围成的封闭图形的面积

S=∫03（x+3-x2+2x-3）dx

=∫03（3x-x2）dx

=(x2-x3)

=×9-×27

=．

（1）由可得A（1，-1），B（9，3）

∴S=[-(-)]dx[-(x-3)]dx=

（2）（2sinx+cosx）dx=2sinxdxcosxdx

=-2cosx+sinx

=-2（0-1）+（1-0）=3

∵(-x2+x)dx=-x3+=，

设曲线y=-x2+与直线y=kx相交与点（t，kt），

∴kt=-+，即交点为（0，0）或（2π-kπ2，2kπ-k2π2），

∴(-x2+x)dx=-x3+x2=t2-t3=

把t=2π-kπ2代入上式有：k=．