导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为______．

正确答案

由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，

∴f（x）=x2（x+a），有=[0-(x3+ax2)]dx=-(+)=，

∴a=±3．

又-a＞0⇒a＜0，得a=-3．

故答案为：-3．

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题型：填空题

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填空题

定积分的值为____________________.

正确答案

1

略

1

题型：填空题

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填空题

已知，若，则．

正确答案

2

略

1

题型：简答题

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简答题

已知求函数的最小值.

正确答案

当时，最小=1

这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再用导数求法求出的最小值.

当时，最小=1

【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。

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题型：简答题

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简答题

求

正确答案

首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.

【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.

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题型：填空题

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填空题

已知an=(2x+1)dx，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n-8，则bnSn的最小值为______．

正确答案

an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n

∴==-

∴数列{ }的前n项和为Sn=++…+=1-+-+…+-=1-=

又bn=n-8，n∈N*，

则bnSn=×（n-8）=n+1+-10≥2 -10=-4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，

故bnSn的最小值为-4．

故答案为：-4．

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题型：填空题

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填空题

已知a=dx，则(ax-)6展开式中的常数项为______．

正确答案

由于 dx的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的大小，

故其值是a=2π

（2πx-）6展开式的通项为T k+1=C6k（2πx）6-k（-）k=（-1）k （2π）6-kC6kx6-2k

令6-2k=0得k=3

展开式中的常数项为-（2π）3C63=-160π3故答案为：-160π3

1

题型：填空题

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填空题

已知a=dx，则(x+-4a)3 (x≠0)展开式中的常数项为______．

正确答案

∵a=dx，

∴a=-=-+1=，

∴(x+

1

x

-2)3=(

x

-

1

x

)6

∴，Tr+1=

x

6-r(-1)r

x

-r=(-1)rx6-r2+-r2

令 +=0，

解得r=3，T3+1=(-1)3=-20

故答案为-20；

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题型：简答题

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简答题

设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实

根，且f′(x)＝2x＋2.

(1)求y＝f(x)的表达式；

(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

正确答案

（1）f(x)＝x2＋2x＋1（2）

(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.

又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋c.

又方程f(x)＝0有两个相等实根，

即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，

所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.

故f(x)＝x2＋2x＋1.

(2)依题意，所求面积为S＝(x2＋2x＋1)dx＝.

1

题型：填空题

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填空题

；

正确答案

4

略

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |＋≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝＋，y＝＋，(，)∈A，(，)∈B}所表示的区域的面积为．

正确答案

18＋

略

1

题型：填空题

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填空题

(1-ex)dx=______．

正确答案

∵∫01（1-ex）dx

=（x-ex）|01

=2-e．

故答案为：2-e．

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x2上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.

（1）求直线的方程.

（2）设的面积为S1，求及S1的值.

（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数.

正确答案

（1）由当x=1时，y＇=-4 ………………2分

∴的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2 ……………………3分(2)得B点坐标为（） ……………………4分

由得D点坐标（,-4-2） ……………………5分

点A 到直线BD的距离为 ………………………………6分

= 22+4+2=2（+1）2

∴S1= ………………………………7分

(3)当>-1时，S1=（+1）3， ………………………………………8分

…………………………………………9分

…………………………………………10分

∴S1:S2= ………………………………………………………………………11分

当<-1时，S1= -（+1）3 ……………………………………………………12

……………………………………………13分

∴S1:S2=

综上可知S1:S2的值为与无关的常数，这常数是 …………………………………14分

略

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题型：填空题

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填空题

若m为正整数，则sin2mxdx=______．

正确答案

定积分∫-ππsin2mxdx

=dx

=（ x-sin2mx）|-ππ

=π

故答案为：π．

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题型：填空题

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填空题

设函数（a≠0），若，x0>0，则x0=

正确答案

略

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