热门试卷

（1）设动圆圆心为（x，y），依题意得，=|y+1|，整理，得x2=4y．

所以轨迹M的方程为x2=4y．

（2）由（1）得x2=4y，即y=x2，则y′=x．

设点D（x0，x02），由导数的几何意义知，直线的斜率为kBC=x0，

由题意知点A（-x0，x02）．设点C（x1，x12），B（x2，x22），

则kBC===x0，即x1+x2=2x0，

因为kAC==，kAB==，

由于kAC+kAB=+==0，即kAC=-kAB，

所以∠BAD=∠CAD；

（3）由点D到AB的距离等于|AD|，可知∠BAD=45°，

不妨设点C在AD上方，即x2＜x1，直线AB的方程为：y-x02=-（x+x0）．

由，解得点B的坐标为（x0-4，(x0-4)2），

所以|AB|=|（x0-4）-（-x0）|=2|x0-2|．

由（2）知∠BAD=∠CAD=45°，同理可得|AC|=2|x0+2|，

所以△ABC的面积S=×2|x0-2|×2x0+2|=4|x02-4|=20，解得x0=±3，

当x0=3时，点B的坐标为（-1，），kBC=，

直线BC的方程为y-=（x+1），即6x-4y+7=0；

当x0=-3时，点B的坐标为（-7，），kBC=-，

直线BC的方程为y-=-（x+7），即6x+4y-7=0．

（1）y'=3x2-6x+2=3（x-1）2-1，

所以，x=1时，y'有最小值-1，（3分）

把x=1代入曲线方程得：y=0，所以切点坐标为（1，0），

故所求切线的斜率为-1，其方程为：y=-x+1．            

（2）设切点坐标为M（x0，y0），则y0=x03-3x02+2x0，

切线的斜率为3x02-6x0+2，

故切线方程为y-y0=（3x02-6x0+2）（x-x0），（9分）

因为切线过原点，所以有-y0=（3x02-6x0+2）（-x0），

即：x03-3x02+2x0=x0（3x02-6x0+2），

解之得：x0=0或x0=．                                  

所以，切点坐标为M（0，0）或M(，-)，

相应的切线方程为：y=2x或y+=-(x-)

即切线方程为：2x-y=0或x+4y=0．

解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|

令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．

（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，f′(x)=2x+（x≥e）

∵a＞0，

∴f（x）＞0恒成立．

∴f（x）在[e，+∞）上增函数．

故当x=e时，ymin=f（e）=e2

②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+1，

f′(x)=2x-=(x+)(x-)（1≤x＜e）

（i）当≤1，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，

所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．

故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）

（ii）当1＜＜e，即2＜a＜2e2时，

f'（x）在x∈(1，)时为负数，在间x∈()时为正数

所以f（x）在区间[1，)上为减函数，在(，e]上为增函数

故当x=时，ymin=-ln，

且此时f()＜f(e)

（iii）当≥e；即a≥2e2时，

f'（x）在x∈（1，e）时为负数，

所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，

当x=e时，ymin=f（e）=e2．

综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．

所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；

当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为f()=-ln，

而f()＜f(e)，

所以此时f（x）的最小值为f()=-ln．

当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，

而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a

所以函数y=f（x）的最小值为ymin=

（1）函数的定义域为{x|x≠2}， f′(x)=

当x＞3时，f'（x）＞0，

当x＜3且x≠2时，f'（x）＜0．

故函数f（x）的增区间为（3，+∞），减区间为（-∞，-2），（2，3）．

（2）函数f（x）的图象与y轴交点坐标为(0， -)，∴f′(0)=

故切线方程为y+=-x，

切线与两坐标轴的交点分别为(0， -)和(-， 0)

∴所求图象的面积S=××=．

（1）；（2）（i）；（ii）.

试题分析：（1）将代入函数解析式，求出，由此计算与的值，最后利用点斜式写出相应的切线方程；（2）利用参数分离法将问题转化为直线与函数的图象有且仅有一个交点来处理，然后利用导数来研究函数的单调性与极值，从而求出的值；（ii）将问题转化为，然后利用导数研究在区间上最值，从而确定实数的取值范围.

（1）当时，，定义域，

，

，又，

在处的切线方程；

（2）（ⅰ）令，

则，

即，

令，

则，

令，

，

，在上是减函数，

又，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

，

所以当函数有且仅有一个零点时；

（ⅱ）当，，

若，，只需证明，

，

令，得或，

又，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

又，，

，

即，，.

（1）

当时，，所以函数在区间上单调递减；

当时，当时，，所以函数在区间上单调递增；

当时，，所以函数在区间上单调递减。

（2）

所以    

解得

所以在单调递减；在单调递增

所以所以

因为，，所以的最大值为

略

（1）或；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用导数求出函数在点的切线方程，并将切线方程与函数的方程联立，利用求出的值；（2）将题中问题转化为从而确定最大整数的值；（3）假设，考查函数和的单调性，从而将，得到，于是得到，然后构造函数

，转化为函数在区间为单调递增函数，于是得到在区间上恒成立，利用参变量分离法求出的取值范围.

（1），，，

函数的图象在点处的切线方程为，

直线与函数的图象相切，由，消去得，

则，解得或；

（2）当时，，

，

当时，，在上单调递减，

，，

则，

，故满足条件的最大整数；

（3）不妨设，函数在区间上是增函数，，

函数图象的对称轴为，且，函数在区间上是减函数，

，

等价于，

即，

等价于在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，

，又，.

（1）,（2）当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升

试题分析：（1）解实际问题应用题，需正确理解题目含义. 从甲地到乙地需耗油等于每小时的耗油量乘以行驶时间. 从甲地到乙地行驶了（小时），每小时的耗油量为，，所以共需耗油，（2）在（1）的基础上，将从甲地到乙地耗油表示为速度的函数关系式：，利用导数求出其极小值，也是最小值.解题过程中需明确极值点是否在定义区间内.

试题解析：解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时），

需耗油（升）。

所以汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油升 …4分.

（2）当汽车的行驶速度为千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时.

设耗油量为升，依题意，得

，.……7分

 .

令 ，得 .

因为当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以当时，取得最小值.

所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，

最少为升。                 12分

(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析   (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点

(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．

当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.

f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：

所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.

(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)

因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．

因为m≥1，所以，

所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．

故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．

(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．

显然x＝1是该方程的一个根．

令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.

当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．

当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．

所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．

综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．

(1) f(x)=x3-2x2+x+4

(2) 当0>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;

当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;

当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.

(1)f'(x)=ax2-(a+1)x+1.

由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.

由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.

所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.

(2)f'(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).

当0>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;

当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;

当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.

（1）；（2）

试题分析：（1）为了求花圃的面积，首先判断直线左下部分花圃的形状，故先求过点的求切线方程，根据横截距和纵截距的取值范围分为三类：①；②；③，花圃形状分别为直角三角形、直角梯形、直角梯形，因其面积表达式不同，故分类三类，并以分段函数的形式给出；（2）分段函数是一个函数，故可分段来求最小值，再比较，哪个值最小，哪个即最小值．当时，，；利用导数来求最小值；当时，，利用二次函数的图象来求最小值．

（1）由题意可设,又因,所以过点的切线方程为

,即,

切线与轴交于点,与轴交于点,

①当,即时,切线左下方区域为直角三角形.

所以;

②当,即时,切线左下方区域为直角梯形.

所以;

③当,即时,切线左下方区域为直角梯形.

所以;

综上有,                                            7分

（2）①当时,,当时,;

②当时,,

所以在上递减,所以,

下面比较与的大小,由于,

所以可知即求.                                                13分

（1） 参考解析；（2）参考解析

试题分析：（1）求出函数的导数，又因为在处的切线与直线垂直，由.再通过在定义域内导函数的正负，求得函数的单调区间，及为所求的结论.

（2）由函数的导数.令导函数为零即可求得零点.由于是求在区间上的最大值.及讨论与的大小.从而得到结论.

（1）的定义域为．

．

由在处的切线与直线垂直，则．  2分

此时，．令得．

与的情况如下:

所以的单调递减区间是(),单调递增区间是．           5分

（2）由．由及定义域为,令，得．

①若，即时，在上, ,单调递增，．                                         7分

②若在上,,单调递减；在上,,单调递增,因此在上,．

，，令，解得，

当时，，所以；

当时，，所以．               10分

③若，即时，在上,,在上单调递减, ．                                            11分

综上,当时；当时,．   12分

（1）见解析   （2）

（1）                        2分

由得曲线在x=0处的切线方程为

由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）            6分

（2）由得.

（i）当时，没有极小值；           8分

(ii)当或时，由得

故.由题设知，

当时，不等式无解；

当时，解不等式得

综合(i)(ii)得的取值范围是             12分