热门试卷

a＝1，b＝1

f′(x)＝.

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，

所以即

∴a＝1，b＝1.

（1）a＝（2）f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是

f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．

(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.

(2)f′(x)＝ (x>0)．

①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．

②当0<a<时，>2.在区间(0,2)和上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.

③当a＝时，f′(x)＝≥0，

故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．

④当a>时，0<<2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.

（1）；（2）.

试题分析：（1）解法1是在的条件下，由得到，将两式相减得，经化简得，从而得出数列为等差数列，然后利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式；解法2是利用代入递推式得到，经过化简得到，在两边同时除以得到，从而得到数列为等差数列，先求出数列的通项公式，进而求出的表达式，然后利用与之间的关系求出数列的通项公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.

试题解析：（1）解法1：当时，，，

两式相减得，

即，得.当时，，即.

数列是以为首项，公差为的等差数列..

解法2：由，得，

整理得，，两边同除以得，.

数列是以为首项，公差为的等差数列...

当时，.

又适合上式，数列的通项公式为；

（2）解法1：由（1）得.

，.

，①

，②

①②得.

.

解法2：由（1）得.，.

，①

由，

两边对取导数得，.

令，得.

.

①a＝－1，b＝3.②见解析

① f′(x)＝1＋2ax＋.

由题意知即，

解得a＝－1，b＝3.

②由①知f(x)＝x－x2＋3ln x.

f(x)的定义域为(0，＋∞)．

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

由g′(x)>0知0<x<1，

由g′(x)<0知x>1.

所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．

所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝0，

所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.

x－y－2＝0

f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，

由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，∴f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0，∴∴a＝－2，b＝5.

所以，所求切线的斜率为g′(2)＝1，

切线方程为y－0＝1(x－2)，即x－y－2＝0.

（Ⅰ）（Ⅱ）函数不存在“中值相依切线”，理由见解析。

解：(Ⅰ)(1)当时，，直线与轴的交点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.     (1分)

(2)当时，，抛物线的顶点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.           (2分)

（3）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数的零点不在原点右侧，不满足条件.       (3分)

（4）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.          (4分)

（5）当时，，抛物线开口向下且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.                        (5分)

综上可得，实数的取值范围是.           (6分)

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

          （8分）

曲线在点处的切线斜率

，       （9分）

依题意得：.

化简可得： ， 即=.    （11分）

设 ()，上式化为：, 即.   （12分）

令,.

因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.            （14分）

当时，等腰三角形的面积最大．

本试题主要考查了导数解决实际问题的中的最值问题的运用。

利用已知条件设出变量，然后表示半径为R的圆内，作内接等腰三角形的面积，结合导数的思想得到极值，进而得到最值。

如图，设圆内接等腰三角形的底边长为，高为，

那么

，

解得，于是内接三角形的面积为：

，

从而

，

令，解得，由于不考虑不存在的情况，所在区间上列表示如下：

由此表可知，当时，等腰三角形的面积最大．

（1）；（2）.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数单调区间的运用。

解：（Ⅰ）

则可得：……………………6分

（Ⅱ）由函数在区间上单调递增

则对一切的恒成立

即恒成立，令

当时取=，所以 ……………………13分

解：（I） ∵m=3

∴,∴

故曲线在点（0，）处的切线方程为：y=3     4分

（II）由（I）知，要使函数在有两个极值点，只要方程有两个不等负根，那么实数m应满足，解得        8分

设两负根为，则，可只当时有极小值，由于对称轴为，

，

∴，，

 ∵

在上单调递增

∴

(I)可求出即在点(0,f(0))处切线的斜率,然后写出点斜式方程,再化成一般式即可.

(II)解决本小题的关键是把题目条件若函数上有两个极值点转化为

有两个不等的负根,从而借助韦达定理及差别式即可求解.