热门试卷

(1,1)或(－1，－3)．

∵y′＝3x2＋1，根据导数的几何意义，曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝y′|x＝x0，

即3 ＋1＝4，∴x0＝±1.

当x0＝1时，y0＝1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3；当x0＝－1时，y0＝－3，此时切线为y＋3＝4(x＋1)，即y＝4x＋1.

综上可得P点坐标为(1,1)或(－1，－3)．

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是．

试题分析：（1）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点，先求出函数在点处的切线方程，因此对函数求导得，从而得，再求出，由点斜式即可得切线方程，证切线与总有两个不同的公共点，即方程有两个不同的解，即有两个不同的解，由已知，故方程存在两解，既得证．（2）若函数在区间上有且仅有一个极值点，只需在区间上有且仅有一个解，且在解的两边异号，而是二次函数，故只需，即可求出的取值范围．

（1）由已知可得.    1分

，                                  2分

又，在处的切线方程为.                       4分

令，整理得.或，          5分

  ，                                                     6分

与切线有两个不同的公共点.                                         7分

（2）在上有且仅有一个极值点，

在上有且仅有一个异号零点，                              9分

由二次函数图象性质可得，                                     10分

即，解得或，                              12分

综上，的取值范围是.                                         13分

（1）y=x-2  （2），证明见解析

(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),

f′(x)= (x-1)(3x-5),

故f′(2)=1.

又f(2)=0,

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.

(2)证明:由题意得f′(x)=3(x-a)(x-),

由于a,

所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.

不妨设x1=a,x2=,

因为x3≠x1,x3≠x2,

且x3是f(x)的零点,

故x3=b.

又因为-a=2(b-),

x4=(a+)=,

此时a,,,b依次成等差数列,

所以存在实数x4满足题意,且x4=.

y＝0或27x－y－54＝0

设切点坐标为(x0，)，则由于y′＝3x2，所以切线斜率为3，切线方程为y－＝3(x－x0)，它过点(2,0)，

∴0－＝3(2－x0)

∴x0＝0或x0＝3.

若x0＝0，则切点坐标为(0,0)，切线方程为y＝0.

若x0＝3，则切点坐标为(3,27)，切线方程为y－27＝3×32(x－3)，即27x－y－54＝0.

所以，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0

（1），（2）

试题分析：解：（1），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）由（1）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

点评：主要是根据导数的符号于函数单调性的关系来得到函数的极值和最值，得到求解，属于基础题。

1）递增区间；递减区间

（2）。

本试题主要是考查哦导数在研究函数中的运用。

（1）第一问先求解定义域，然后求导数，令导数大于零或者小于零得到单调区间，进而得到结论。

（2）根据函数无零点，说明图像与x轴无交点，那么分析函数的性质，研究极值的符号来得到参数的范围的求解。

（1）；（2）

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用和利用导数证明不等式的恒成立问题的综合运用问题。

（1）首先求解函数解析式，然后求导，得到导数，代入点的坐标，得到切线方程。

（2）根据对任意的函数恒成立，只要研究函数f(x)在给定区间的最小值大于等于零即可。需要对参数a分类讨论，得到最值。

解：（1）当时,

由，则                      ---------3分

函数在点处的切线方程 为                         

即                                               ---------4分

(2)                   ---------5分

易知，，则

当即时，由得恒成立，

在上单调递增， 符合题意。所以 ---------7分

当时，由得恒成立，在上单调递减，

显然不成立，舍去。                         ---------8分

当时，由，得即

则

因为，所以。时，恒成立，

在上单调递减，显然不成立，舍去。---------11分

综上可得:                                           --------------12分