热门试卷

解：（1）当时， 

因为在上递减，所以，即在的值域为 故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数。   ……………4分

（2）由题意知，在上恒成立。………5分

，         

∴  在上恒成立………6分

∴   ………7分

设，，，由得 t≥1，

设，

所以在上递减，在上递增，………9分

在上的最大值为， 在上的最小值为 

所以实数的取值范围为。…………………………………10分

（3），

∵   m>0 ，     ∴ 在上递减，………12分

∴      即………13分

①当，即时，， ………12分

此时 ，………14分

②当，即时，，

此时 ， 

综上所述，当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是………16分

略

(1) F(x)在(－1，1）上是增函数，(2)证明略 (3)证明略

(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，

设－1＜x1＜x2＜1,则

F(x2)－F(x1)=()+()

,

∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数. 

(2)证明： 由y=f(x)=得 2y=,

∴f－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R.

当n≥3时，

f-1(n)>.

用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.

(3)证明:∵F(0)=,∴F－1()=0,∴x=是F－1(x)=0的一个根.

假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于

是F(0)=x0(x0≠). 这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.

解：(1) y=  ；（2） ；（3）。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）a=1时，， ，过点的切线方程为y= 得到结论。

（2）， ∵在区间上是增函数，∴对恒成立，即 对恒成立等价转化得到结论。

（3）由，得，

∵ ∴是方程 的两非零实根，

∴，从而

结合不等式得到结论。

解：(1)a=1时，，-------2分

，过点的切线方程为y=   ----------4分

（2） ，

∵在区间上是增函数，

∴对恒成立，

即 对恒成立     

设，则问题等价于

，

∴          --------9

（3）由，得，

∵ ∴是方程 的两非零实根，

∴，从而，

∵，∴.

∴不等式对任意及恒成立

对任意恒成立对任意恒成立

设，则问题又等价于

即 的取值范围是-----14分

（1）－2；（2）见解析；（3）.

(1)根据函数f(x)在x=1处的导数值为3,建立关于a的方程求出a的值.

(2)证充要条件：要从两个方面进行证明：（i）充分性.（ii）必要性.

(3)由（2）知 当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数.

从面确定不妨设，则,

然后利用导数解决.

解：所以曲线在x=1处切线的斜率为..

（2）①充分性

所以当

上是增函数，当，所以函数在（0,1）上是减函数，所以

②必要性

（i）当时，恒成立，所以函数在（0，+）上是增函数.而，所以当

综上所述，恒成立的充要条件是a=1.

（3）由（2）可知

当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数.

不妨设，则

解：（Ⅰ）函数的定义域为………………………………………1分

 ……………………………………………3分

令 且  …………………4分

在为单调递减函数，

时，；

时，；

递增区间为；递减区间为。………………………………6分

（Ⅱ）在条件下：恒成立

恒成立。 ………………………………8分

令，设（）

 ……………………………10分

由（Ⅰ）知时，，在单调递减

，即

的取值范围为                    ………………………………………12分

略

（1）

（2）

（1）

依题意恒成立

即

显然

，故a的取值范围是                                                …………6分

（2）由（1）知：当a=1时，上是减函数

且

∴存在唯一                          …………8分

同理由上是减函数

且

知存在

即成立                                     …………10分

由

及的唯一性知

综上可知，存在c，d使同时成立，

且                                                                                  …………13分

见解析

解：假设符合条件的实数a存在，

设g(x)＝ax2－x，

当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足

即解得a>.

又∵a>1，∴a>1；

当0a(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是减函数，故应满足即

此不等式组无解；

综上可知：当a>1时，函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数．

略

（1）当时，，，

又切点，切线方程     4分

（2）证明：由得

=

=  ①

，

>.  ②,

 ③由①②③得

即                                        10分

（3）解：由得

所以

=

>1                  

即对于任意的两个不等的正数，>1恒成立，

即证恒成立 因为>，

故恒成立设，易求当且仅当时 故所求的取值范围是                 16分

略