热门试卷

(18)（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由可得

.         ………………………………………2分

当时, ,.        ………………………………………4分

所以 曲线在点处的切线方程为，

即.                        ………………………………………6分                                     

（Ⅱ）令，

解得或.               ………………………………………8分

当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.

所以的最小值为＝;        ………………………………………10分

当，即时, 随的变化情况如下表

 由上表可知函数的最小值为.

……………………………………13分

略

解：（1），所以在处的切线为

即：                         ………………………………2分

与联立，消去得，

由知，或.       ………………………………4分

（2）

①当时，在上单调递增，且当时，，

，故不恒成立，所以不合题意 ；………………6分

②当时，对恒成立，所以符合题意；

③当时令，得， 当时，，

当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，

综上：.                ………………………………10分

(3)当时，由（2）知，

设，则，

假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分

令得：，因为， 所以.

令，则 ，

当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，

所以存在符合条件的，且仅有一个. …………………………16分

略

（本小题满分12分）

解：（I）∵ ，               ………………（2分）

∴．

∴当时，函数取最大值；      ………………（4分）

（II）当时，的最大值是0，

即，当且仅当时取等号，        ………………（6分）

函数和的图象在处有且仅有一个公共点，

∵，函数的图象在处切线斜率是，

∵，函数的图象在处切线斜率是，

∴和的图象在处有公共切线方程为，………………（8分）

设，

∴当时，函数取得最大值，∴恒成立；……………（10分）

∵，

∴在时恒成立；

∴当时，，．                 ………………（12分）

略

解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，

对∈（0,+）恒成立，

，则    的取值范围是.

………7分

（II）设点P、Q的坐标是

则点M、N的横坐标为

C1在点M处的切线斜率为

C2在点N处的切线斜率为

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

即 则

  设则

令，

点R不存在.………15分

略

（1）；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.

试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，；第二问，先列出总利润的表达式，构造函数，利用导数判断单调区间求函数最值.

试题解析：（1），, . 

（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为，种植学校观赏植物成本为

，，,

 .

设 .

上为减函数；

上为增函数.

当时，取到最小值,

此时总利润最大：.

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值。

（1）y=2；（2）.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

解：（1），依题意，

，即 解得

∴，

曲线方程为，点不在曲线上。

设切点为，则

由知，切线方程为

又点在切线上，有

化简得，解得

所以切点为，切线方程为y=2

（2）

与y=2的交点为（1，2）和（2，2）

切线与函数g(x)的图象围成的图形面积为：

解：（1）

由题意得：在和上有相反的单调性

当时，的另一个根为

在和上有相反的单调性

由题意得：

的三个不同根为

得

二个不同根为

综上得： …………5分

（2）假设在函数的图象上存在一点, 使得

在点的切线斜率为

则 有解（*）

令

得：与（*）矛盾

在函数的图象上不存在一点, 使得

在点的切线斜率为 …………10分

（3）由（1）得： …………14分

略

解：（1）当时，，令，得．

当x∈（-1，1）时，

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时．

∴在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，

∴的极小值为．………………………………………………4分

（2）因在[-1，1]上为偶函数，

故只求在[0，1]上的最大值即可．

∵，x∈[0，1]，

∴=，

∴．

．

①当时，，在[0，1]上单调递增，

此时．……………………………………………8分

②当时，=||=-在[0，]上单调递增，

在[，1] 上单调递减，故．…………12分

 …………………………………………………… 14分

略

(Ⅰ)

(Ⅱ)证明略

解：(Ⅰ)　若　　　　　

　　　　　　则　　　　　　　　　　　　　…………（6分）

　(Ⅱ)证明：构造函数

　　　　　即

　　　　　　　　＝　　　　　　　　…………（9分）

　　　　∵对于一切恒有　

　　　　∴方程的判别式

　　　　从而　　　　　　　　　　　　　　…………（12分）

（1）当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为

（2）故不存在，使曲线处的切线与轴垂直

解：（1）

令，得…………1分

①若，则在区间上单调递增，此时函数无最小值

……2分

②若时，，函数在区间上单调递减

当时，，函数在区间上单调递增

时，函数取得最小值…………4分

③若，则，函数在区间上单调递减

时，函数取得最小值…………5分

综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为…………6分

（2）

……7分

由（1）可知，当

此时在区间上的最小值为

即…………9分

当，

…………12分

曲线y在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解

而，即方程无实数解

故不存在，使曲线处的切线与轴垂直…………

（1）由已知：f′（x）=-e-x（ax2+a+1）+ e-x·2ax=e-x（-ax2+2ax-a-1）。

因为e-x＞0，只需讨论g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况；

当a=0时，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，

所以f（x）在R上是减函数；

当a＞0时，g（x）=0的△=4a2-4（a2+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，

所以f（x）在R上是减函数； （4分）

当a＜0时，g（x）=0有两根，且＜。

所以，在区间（-∞，）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数，

在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数，

在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数。

综上所述，当a≥0时，f（x）的单调减区间为（-∞，+∞），

当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，）和（，+∞），

f（x）的单调减区间为（，）。（8分）

（2）当-1＜a＜0时，＜1，＞2，所以，在[1，2]上，f（x）单调递减，

所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=。（12分）

略